I fəSİl kristalloqrafiyanin əsaslari

NÖQTƏVİ QRUPLAR (KRİSTALLOQRAFİK SİNİFLƏR) VƏ ONLARIN ÇIXARILIŞI

Hər bir kristalın müəyyən simmetriya dərəcəsi ilə səciyyə­lənməsi artıq bizə məlumdur. Kristalda simmetriya elementləri ayri-ayrılıqda iştirak etdikləri kimi, yığım halında da ola bilərlər. Yəni kristalda eyni zamanda bir neçə simmetriya oxu, simmetriya müstəvisi və bir simmetriya mərkəzi ola bilər. Aşkardır ki, kristal həmişə düz müstəvi üzlərlə hüdudlandığından, onda iştirak edən simmetriya elementlərinin çoxluğu da məhdud olmalıdır. Başqa sözlə, kristalda yalnız müəyyən sayda və yığımda simmetriya elementləri iştirak edə bilər. Simmetriya elementlərinin ayrı-ayrılıqdakı hər mümkün yığımı kristalloqrafik sinif və ya nöqtəvi qrup adlanır. Simmetriya elementlərinin toplularının kristallarda mümkün sayının həndəsi çıxarılışını ilk dəfə Gessel vermişdir. Sonralar müxtəlif tədqiqatçılar tərəfindən nöqtəvi qrupların çıxarılışının daha rasional üsulları təklif edilmişdir. Bu üsullardan biri ilə tanış olaq.

Kristallik maddə əmələ gələrkən onun düz müstəvi üzlərlə örtülüb, qabarıq çoxüzlü şəklində təzahür etməsinə baxmayaraq, kristal bütün simmetriya elementlərindən məhrum ola bilər. Yəni kristalda simmetriya elementlərinin heç biri olmaya bilər. Beləliklə, birinci nöqtəvi qrupu
1) ─ işarəsi ilə göstərə bilərik.
İndi isə çıxarılışı iki hissəyə ayıraq. Birinci hissədə (A) kristalda yalnız bir yüksək dərəcəli simmetriya oxunun, ikinci hissədə isə (B) müxtəlif dərəcəli simmetriya oxlarının iştirak etdiyini fərz edək.
A. Kristalda yalnız bir ədəd simmetriya oxu mövcuddur.
Onda, aşağıdakı dörd mümkün halı ala bilərik.
2) L² ; 3) L³ ; 4) L⁴ ; 5) L⁶
Mürəkkəb simmetriya oxları (aynalı və inversion fırlanma simmetriya oxları) ayrı-ayrılıqda sərbəst olmadıqlarından, yəni onların birinin əməliyyatlarından alınan nəticələr digərinin nəti­cələrini verdiyindən, bu oxlardan yalnız birini qəbul etsək səhv etmərik. Beləliklə, kristalda bir ədəd aynalı fırlanma simmetriya oxu iştirak etdikdə, mümkün nöqtəvi qruplar:
6) λ¹ (P) ; 7) λ² (C) ; 8) λ³ (L³┴ P) ; 9) λ⁴ ; 10) λ⁶ (L³ C) alınar.
B. Tutaq ki, kristalda bir ədəd yüksək dərəcəli simmetriya oxu və ona perpendikulyar başqa bir ox da vardır. Sozsüz ki, bu, mütləq iki dərəcəli simmetriya oxu olmalıdır. Onda yüksək dərəcəli simmetriya oxu iki dərəcəli oxu öz ətrafinda dərəcəsi sayda (oxun dərəcəsi n olarsa, n sayda) təkrar edəcəkdir. Deməli, ümumi halda kristal (Lⁿ nL²) düsturu ilə ifadə olunan simmetriya dərəcəsinə malik olacaqdır. Buradan asanlıqla mümkün nöqtəvi qrupların sırasını yaza bilərik:
11)L² ┴ L² 3L² ;
12)L³ ┴ L² L³ 3L² ;
13)L⁴ ┴ L² L⁴ 4L² ;
14)L⁶┴L² L⁶6L²
İndi isə kristalda iştirak edən yüksək dərəcəli simmetriya oxuna bir simmetriya müstəvisi əlavə edək. Bunu iki cür edə bilərik. Birinci halda:
a) simmetriya müstəvisi oxa paralel, ikinci halda isə; b) per­pendikulyar ola bilər.
a) Birinci halda yüksək dərəcəli simmetriya oxu ona paralel olan müstəvini öz dərəcəsi sayda təkrar edəcəkdir. Onda, yaranmış simmetriya dərəcəsinin ümumi ifadəsi LⁿnP olar. Buradan da:
15)L²‖ P L²2P ; 16)L³‖ P L³3P ; 17)L⁴‖ P L⁴4P ;
18)L⁶‖ P L⁶6P nöqtəvi qruplarını alarıq.
b) Simmetriya müstəvisi yüksək dərəcəli simmetriya oxuna perpendikulyar olduqda, tək dərəcəli oxlar halında LⁿP simmet­riyasını, cüt dərəcəli oxlar halında isə simmetriya oxu ilə sim­metriya müstəvisinin kəsişməsindən yeni element – inversiya mərkəzi yaranacaqdır. Beləliklə, yuxarıda göstərilən a və b halları üçün aşağıdakı nöqtəvi qrupları alarıq:
a) L³ P λ³ ; L² P L² PC ; L⁴ P L⁴ PC ; L⁶ P L⁶PC
Lakin L³ P λ³ halı 8-ci halın təkrarı olduğundan, yeni aldığımız nöqtəvi qruplar:
b) 19)L² PC ; 20)L⁴PC ; 21)L⁶PC olacaqlar.
Buna analoji olaraq mürəkkəb simmetriya oxlarından birinə, məsələn, aynalı fırlanma simmetriya oxuna paralel və perpen­dikulyar müstəvilərin iştira ketdikləri hallara baxaq.
Aynalı-fırlanma simmetriya oxuna nəzərən paralel simmetriya müstəvisi olduqda:
λ¹(P) ‖ P L² 2P ; λ²(C) ‖ P L²PC; λ³(L³ P) ‖ P L³3L² 4P; λ⁴ ‖ P λ⁴ 2L²2P; λ⁶(L³C) ‖ P L³(λ⁶)3L²3PC alarıq.
Burada yeni nöqtəvi qruplar:
22)L³3L²4P; 23)λ⁴2L²2P; 24)L³(λ⁶)3L² 3PC olacaqlar.
Aynalı fırlanma simmetriya oxuna perpendikulyar simmetriya müstəvisi halında isə əvvəldə çıxardığımız qruplar alınacaqlar.
Tutaq ki, kristalda iştirak edən yüksək dərəcəli simmetriya oxuna (Lⁿ) nəzərən həm paralel, həm də perpendikulyar simmetriya müstəviləri yerləşirlər. Asanlıqla isbat etmək olar ki, tək dərəcəli simmetriya oxu halında LⁿnL²(n+1)P düsturlu, cüt dərəcəli simmetriya oxları halında isə LⁿnL²(n+1)PC düsturlu simmetriya dərəcəsinə malik qruplar alınacaqlar. Onda, P‖ L² ┴ P 3L² 3PC; P‖ L³ P L³ 3L² 4P; P‖ L⁴ P L⁴ 4L² 5PC; P‖ L⁶ P L⁶ 6L² 7PC alarıq. Burada yeni nöqtəvi qruplar:
25)3L²3PC; 26)L⁴ 4L²5PC; 27)L⁶ 6L²7PC olacaqlar.
Aldığımız nöqtəvi qrupları cədvəl şəklində ümumiləşdirsək, onların simmetriya elementlərinə nəzərən paylanma mənzərəsini aydın görə bilərik (cədvəl 2).
Son olaraq kristalda eyni zamanda bir neçə ədəd yüksək də­rə­cəli simmetriya oxunun iştirakı halına baxaq. Aydındır ki, kris­talda istənilən sayda yüksək dərəcəli simmetriya oxlarının iştirakı qeyri-mümkündür. Əks halda biz sonsuz sayda simmetriya ele­ment­lərinin çoxluğunu alardıq. Belə çoxluq nəhayətdə kürə səthini səciyyələndirəcəkdir.

Cədvəl 2
Simmetriya elementləri və onların kombinasiyalarından

alınan nöqtəvi qruplar

n	L^n	λ^4	L^nL^2	L^n‖ P	L^nP	λ^n‖ P	P ‖ L^nP
1	^1 ––	^6 λ^1 (P)
2	^2 L^2	^7 λ^2 (C)	^11 3L^2	^15 L^2 2P	^19 L^2PC		^25 3L^2 3PC
3	^3 L^3	^8 λ^3(L^3+P)	^12 L^33L^2	^16 L^3 3P			^22 L^3 3L^2 4P
4	^4 L^4	^9 λ^4	^13 L^44L^2	^17 L^4 4P	^20 L^4PC	^23 λ^4 2L^2 2P	^26 L^4 4L^2 5PC
6	^5 L^6	^10 λ^6(L^3C)	^14 L^66L^2	^18 L^6 6P	^21 L^6PC	^24 L^3(λ^6)3L^23PC	^27 L^6 6L^2 7PC

Fərz edək ki, kristalda bir neçə ədəd yüksək dərəcəli sim­met­riya oxu iştirak edir. Əgər bu oxların kəsişmə nöqtələrini pro­yeksiya kürəsinin mərkəzində yerləşdirib, onların qütblərini birləşdirsək, kürə səthində sferik üçbucaqlar çoxluğunu alarıq. Oxların elementar fırlanma bucaqlarından və sferik üçbucağın xassələrindən istifadə edərək, aşağıdakı mümkün simmetriya elementlərinin kombinasiyalarını almaq olar:

28)4L³3L²; 29)3L⁴4L³6L² ; 30)4L³3L²3PC ; 31)4L³3L² 6P;
32)3L⁴4L³ 6L²9PC
Beləliklə, kristallar aləmində mümkün olan nöqtəvi qrupların (kristalloqrafik siniflərin) sayı 32-dir. Təbiətdə tapılan və labora­to­ri­yalarda süni yollarla alınan on minlərlə kristallar yuxarıda göstərilən 32 simmetriya növünün hər hansı birində kristallaşa bilərlər.
3-cü cədvəldə kristalloqrafik siniflərə mənsub olan minerallara dair misallar verilir.