Mental Arifmetika

Xotirangizni mustahkamlang.
Yettinchi bo’limda siz raqamlarni eslab qolishning foydali usullari haqida o’rganib olasiz. Bu sinf ichida ishlatilsa , albatta, foyda beradi. So’zdagi sonlarni eslab qolishning oson usulidan foydalanib, siz istalgan raqamlar jamlamasini qiyinchiliksiz eslab qolishingiz mukin. Masalan: turli xil sanalar, uyali aloqa raqamlarining barchasini va siz xohlagan boshqa narsalar.
Kalendar sanalari haqida gapirganimizda siz hafta kunlarini xohlagan sanalarga qo’yib farqlay olish imkoniga qanday qaraysiz ? Siz bundan tug’ilgan kunlarni , kelajakdagi uchrashuvlarni rejalashtirganda va boshqa foydalanishingiz mumkin. Men bu elementlar haqida keyinroq gapirib beraman , hozir esa hafta kunlarini farqlashning oddiy ko’rinishidan boshlaylik. Bunga misol qilib , XXI asrning istalgan yilidagi 1-yanvar kunini qaysi hafta kuniga mos kelishini hisoblaylik.

Birinchi galda quiydagi berilgan jadval bilan tanishib oling:

Dushanba		Seshanba		Chorshanba		Payshanba		Juma		Shanba		Yakshanba
1	2		3		4		5		6		7 yoki 0

Masalan , kelinglar birinchi navbatda 1\01\2030 dan boshlab hafta kunlarini belgilab chiqaylik. Yilning oxiridagi 2 ta raqamni olamiz va bu hosil bo’lgan raqamni restorandagi hisobingiz deb o’ylang. ( bunda sizning hisobingiz $ 30 ni tashkil etadi) endi esa choy-chaqa uchun 25% qo’shing , ammo o’zingizdagi ortiqcha sentlarni o’zingizda qoldiring. ( buni hisobni 2 marta teng qismga bo’lib va ortiqcha pullarni olib tashlab hisoblasangiz bo’ladi. $ 30 ning yarmi $15 bo’ladi. Keyin esa $15 ning yarmi $ 7,50 bo’ladi. Ortiqcha pullarni o’zingizga qoldirib , siz $7 miqdorida choy –chaqani hosil qilasiz. Bundan kelib chiqadiki , sizning hisobingiz va choy-chaqaning yig’indisi $37 ni tashkil etadi. Hafta kunlarini belgilash uchun esa , shu summadan unga yaqin bo’lgan sonni ayirib tashlaymiz. 7 (0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49,…………..) va mana shu yordamida tartiblangan hafta kunlarini hosil qilib olamiz.

Bunga ko’ra, 37-35=2 , demak 2030-yilning 1-yanvari haftaning ikkinchi kunida bo’lar ekan , ya’ni seshanba nomi ostida.
Seshanba :



Bu yerda hisob-30, choy-chaqa-7
2043-yilning 1-yanvar sanasi: bu yerda hisob 43, choy-chaqa 10

Mustasno : agar yil uzun bo’lsa ,yuqorida hisoblangan choy-chaqaning pulidan $1 ni ayrib tashlang. Masalan , 1/01/2032 yil uchun $ 32 hisob $8 choy- chaqaga teng bo’ladi. $1 ni olib tashlash 32+7=39 ni hosil qiladi. Yeti esa bizga 39-35=4 ni beradi. Demak , 2032-yilning 1-yanvar kuni haftaning to’rtinchi kuni ya’ni payshanbada sodir bo’ladi. Qo’shimcha ma’lumotlar uchun masalan tarixiy sanalarni hisoblash uchun to’qqizinchi bo’limga qarang. ( agar siz berilgan bo’limni avval o’rganib olsangiz , albatta, bu qulay bo’ladi)
Men sizni hozir nima haqida o’ylayotganingizni bilaman :
“ Nima uchun bunday usullar bilan maktabda dars o’tilmaydi ? “
Bu holatda hattoki men o’zim ham bilmaydigan savollar tug’iladi deb qo’rqaman. Siz yana ko’plab sehrli matematika usullaridan o’rganishga tayyormisiz ? Nimani kutyapmiz biz unda ? Ketdik !
Birinchi bo’lim.
O’rin almashtirish : og’zaki qo’shish va ayirish.
Esimni taiganimdan beri o’ngdan chapga hisoblashdan ko’ra chapdan o’ngga qarab hisoblash men uchun doim oson bo’lgan. Bunday usul bilan hisob-kitob qilganim uchun sinfdoshlarim misollarni shartlarini yozib o’tirgan paytda men bu misolni og’zaki yecha olishimni tushunib yetdim!
Bu bo’limda siz , kundalik hayotimizda ko’plab uchraydigan o’ngdan chapga metodi bilan tanishasiz. Bu bilimlar biz uchun faqatgina ushbu kitobdagi usullarni bajarish uchun emas , balki, maktabdagi matematika darslarida , mehna sharoitlarida ish joyingizda raqamlar bilan shug’ullanganingizda kerak bo’ladi. Tez kunda siz pensiyaga kalkulyatoringiz bilan bormasdan , miyangizni bor kuchingiz bilan ishlatsangiz , siz hattoki ikki xonali , uch xonali va ko’p xonali sonlar ustida qo’shish va ayirishning chaqmoq tezligiga erishasiz.
Chapdan o’ngga qarab qo’shish.
Ko’pchiligimiz yozma hisoblashlarda o’ngdan chapga qarab qo’shish usulidan foydalanishga o’rganganmiz. Bu esa , yozma hisoblashlarda qo’l keladi. Agar siz og’zaki hisoblashni o’rganishni xohlasangiz, ( misolni yozma hisoblagandan ko’ra tezroq va ozonroq ) chapdan o’ngga qarab hisoblashning afzalliklarini ko’rsatib beruvchi turli xil argumentlar mavjud. Oxiriga kelib siz chapdan o’ngga qarab hisoblashni o’rganib olasiz . Agar siz misolni o’ngdan chapga qarab hisoblay olsangiz , siz bu misolni albatta tesjari tomonga qarab ham hisoblay olasiz. Bu esa og’zaki hisoblashni bir muncha qiyinlashtiradi.
Bunday tarzda , siz chapdan o’ngga qarab hisoblash metodidan foydalansangiz , siz berilgan masalangizning eng yaqin va to’g’ri yechimlarini yechishni boshlaysiz. Agar siz qog’ozda o’ngdan chapga qarab hisoblash metodidan foydalangan bo’lsangiz , siz uchun bu yangi ya’ni, chapdan o’ngga qarab hisoblash metodi to’g’ri usulmasdek ko’rinishi mumkin. Ammo siz bu metod bo’yicha amaliy ishlar bajarsangiz , siz bu metodning eng samaraliva to’g’ri usul ekanligiga amin bo’lasiz.
Birinchi galda ikki xonali sonlar ustida qo’shish amalini bajarganingizda , sizga bu metod unchalik samarali bo’lib ko’rinmasligi mumkin. Ammo sabrli bo’ling ! Agar siz men bilan birga bo’lsangiz albatta sonlarni qo’shish , ko’paytirish , bo’lish va ayirishda bu metod – yagona oson yo’ldek ko’rinishi mumkin. Bu usulni ertaroq egallab olsangiz , bu albatta nur ustiga a’lo nur bo’ladi.
Ikki xonali sonlarni qo’shish.
Siz bu bo’limdagi amallarni bajarishdan oldin , siz albatta bir xonali sonlarni qo’shishni va hisoblashni bilasiz. Biz birinchi galda , ikki sonali sonlarni hisoblashni o’rganamiz , vohalanki siz bunday ikki xonali sonlarni hisoblashni og’zaki ravishda hisoblay ham olasiz. Ammo keyingi misollar siz uchun yaxshigina amaliyot bo’lishi mumkin. Hozir sizga muhimroq usuldagi ikki xonali sonlarni hisoblash usullari bilan tanishib chiqasiz. Bunday amallar og’zaki aifmetikaning asosiy prinsipi hisoblanadi. Bu usul va vositalar bu kitobda o’rganadigan amallarning kaliti hisoblanadi.
Bu eski iborada uchta omad kaliti bor - mashq qil , mashq qil , mashq qil.
Ikki xonali solarni qo’shish amali eng oson amal hisoblanib , bu amal miyangizda hech qanday sonlarni eslab qolishga majbur bo’lmaysiz. (qachonki birinchi ikkita raqam 9 yoki undan kichik sonni bersa hamda oxirgi ikkita raqam 9 yoki undan kichik sonni bersa ) Masalan:



47+32 amalini bajarish uchun birinchi galda 32 ni 30 va 2 ga ajratib olamiz keyin esa 47 ga 30 ni qo’shamiz. 77+2 ko’rinishida yozib olaman. Kelinglar bu amalni quyidagicha ham yozish mumkin:
47+32 = 77+2 = 79
Birinchi galda 30 ni qoshamiz . Keyin esa 2 ni qo’shamiz
Bu berilgan sxema ong faoliyatining eng oddiy ko’rinishi bo’lib , bu metod yordamida to’g’ri javob olish jarayoni tezlashadi. Balki siz bu kitobdagi metodlarni bajarish davomida yozib olish va tushunib borishingizga to’g’ri keladi. Ammo bizning bu metodimiz sizni yozib borishingizga majbur qilmaydi.
Endi esa raqamlarni hayolimizda saqlab qolishga majbur qiluvchi amallarni ko’rib chiqamiz.

<sub>Chapdan o’ngga qarab hisoblaganda , siz misolni 67+20=87 ; keyin esa 87+5=95 tarzida yechishingiz ham mumkin.
67+28 = 87+8 = 95
Birinchi galda 20 ni qo’shamiz. Ikkinchi galda esa 8 ni qo’shamiz.
Endi esa quyidagi berilgan misolni chapdan o’ngga metodi orqali hisoblab ko’ramiz.

Bu misolni 84+50=134 keyin esa 134+7=141 : amallarini bajaramiz.
84+57 = 134+7 = 141</sub>
Birinchi galda 20 sonini qo’shamiz. Keyin esa 8 sonini qo’shamiz.
Bu sizning birinchi sxemaga qo’yilgan hisoblashingiz hisoblanadi. Agar siz ko’pchilik ayrim odamlarga o’xshagan bo’lsangiz , unday holda sizga odatlanish uchun vaqt kerak bo’ladi. Amaliy hisoblash bilan siz boshingizdagi raqamlarni eshitishni va ko’rishni boshlaysiz. Yana bitta amalni mustaqil bajarishga harakat qiling. Yana bu misolni og’zaki hisoblab ko’ring. Keyin esa yuqoridagi usul bilan tekshiring:



Siz birinchi galda 68+40 = 108 , keyin esa 108+5 = 113 tarzida yechishingiz kerak. Navbatdagi misolimiz siz uchun oson bo’ldimi ? Agar siz o’z kuchingizni sinab ko’rmoqchi bo’lsangiz quyidagi misollarni yechib bajarib ko’rishingiz mumkin;
Misollar : Ikki xonali sonlarni qo’shish.
23+16 ; 64+43 ; 95+32 ; 34+26 ; 89+78 :
73+58 ; 47+36 ; 19+17 ; 55+49 ; 39+38 .
Uch xonali sonlarni qo’shish.
Uch xonali sonlarni qo’shis ham huddi chapdan o’ngga metodi orqali ikki xonali sonlar kabi amalga oshiriladi. Har bir qadamdan so’ng siz hisoblashning yangi usullari bilan tanishib olasiz. Kelinglar keying misolga qaraymiz:
Biz hisoblashni 538 dan boshlaymiz , avvalo , 300 ni keyin 20 ni , keyin esa 7 ni qo’shib olamiz. 300 sonini qo’shib olganimizdan keyin (538+300=838) , amal 838+27 bilan davom etadi . 20 sonini qo’shib bo’lgandan keyin (838+20 =858 ) , amal 858+77=865 bilan tugaydi. Bu amal esa quyidagicha sxema yordamida ifodalanadi:

538 + 327 = 838 + 27 = 858 + 7 = 865
Hamma og’zaki bajariladigan amallar quyidagi usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Bundan maqsad shundaki , bir xil sonly ko’sinishga kelmaguncha , mana shu amallarni bajaramiz. Quyidagilarga e’tibor bering !!! 538 + 327 amali sizni hayolingizda oltita sonni hamda 838 + 27 va 858 +7 amali esa sizga beshta yoki oltita raqamni hayolingizda tutib turishingizga olib keldi .

Agar siz misolni mashq qilsangiz , bu misollar siz uchun oson bo’lib qoladi !!!

Keling endi quyidagi misolni og’zaki ishlashga harakat qilib ko’ring .

Siz bu amalni chapdan o’ngga metodi orqali soddalashtirdingizmi ? Yuz sonini qo’shib bo’lgandan so’ng, (623+100=723) 723+ 59 amali qoldi. Keyin siz o’nliklarni qo’shishingizga to’g’ri keladi ( 723+50 =773 ) , ish oxirida 773 +9 =782 amali bajariladi. Bu amal quyidagi sxema asosida igodalanadi :
623 + 159 = 723 + 59 = 773 + 9 = 782
Men og’zaki ravishda misol yechayotgan paytimda , men raqamlarni ko’rishga emas , balki, raqamlarni eshitishga harakat qilaman. Men 623 + 159 amalini huddi oltiyuz yigirma uch qo’shilgan bir yuz ellik to’qqiz tarzida eshitaman , bunda men o’zim uchun yuz soniga urg’u berib olaman . Shunda men amalni nimadan boshlash kerakligini anglab yetaman. Amallarni yechshda raqamlarni eshitisha olish , sizni ushbu metodni tezkorlik bilan o’rganib olishingizga yordam beradi.

Uch xonali sonlarni qo`shish misollari, unchalik qiyinchilik tug`dirmaydi.

Biz buni qanday ishlaganimizga qarang.

Har qadamda qo`shishga doir yangi misollarni eshitaman(ko`rmayman). Mening ongimda ushbu misol shunday eshitiladi.
858 qo`shilgan 634 bu 1458 qo`shilgan 34 bu 1488 qo`shilgan 4 bu 1492
Sizning ichki ovozingiz boshqacha eshitilishi mumkin,( albatta siz sonlarni eshitishni o`rniga ularni ko`rishingiz mumkin).
Biz qanday sonlarni qo`shmaylik avvolo ikkinchi qo`shiluvchini xona birliklariga ajratib, birin ketin ongimizda qo`shib ketishimiz kerak.
Keling yana bir misol orqali bu usul oson va qulayligini tekshirib ko`raylik.

Buni avvalo ongingizda bajaring, keyin qo`shishning pastrog`ini tekshiring:

Bu yig`indigo oid misol oldingilaridan ozgina qiyinroq, shuning uchun sizdan talab qilinadigani shuki, barcha uch qadamda sonlarni hayolda saqlang. Bu usul alternativ hisoblash usuli hisoblanadi. Bu usul ancha qulaylik keltiradi , chunki 500ni 759 ga qo`shish 496 ga qaraganda ancha qulay. Bu misolni ishlanish tartibini ko`ring va yuqoridagi bilan solishtiring.

Bunda 496ni 500 deb qarab olamiz va 759+500 hisoblaymiz, so`ng 4ni ayirib qo`yamiz. Hozirgacha biz ikkinchi sonni birinchi songa qo`shish uchun ularni ketma-ketlikda bo`laklarga bo`lgan bo`lsak. Ushbu misolda bo`laklarga bo`lish, muhim ahamiyat kasb etmaydi. Lekin ishda ketma ketlik bo`lishi muhim. Bu holatda , miyya ortiqcha vaqt sarflamaydi. Keling yana bir misolda amalda sinab ko`raylik.

Bunda 207ni 200 deb qarab olamiz. Va 200ni 528 ga qo`shib, so`ng natijaga 7ni qo`shib qo`yamiz.
Bu mavzuni to`rt xonali son bilan uch xonali son yig`indisi bilan tugatamiz. O`rta darajadagi odam bir vaqtning o`zida 7 yoki sakkizta raqamni eslab qolishi mumkin. Bu aynan masalani o`lchoviga to`g`ri keladi.
Keling endi diqqatimizni so`ngi raqami 0 bilan tugaydigan misollarni qo`shishga qaratsak.avval osonroq misoldan boshlaymiz.

27 ming +5 yuz teng 32mingni bersa, biz shunchaki 67 sonini 32ming va 67 yoki 3267 ni hosil qilish uchun qo`shamiz. Keyingi jarayondagi misol o`xshash

Negaki 40+18=58, birinchi javob 3258. Ikkinchi misolda, 40+72 yig`indisi 100dan kata sonni beradi. Siz bilasizki javobi 33 ming nechadir ham bo`lishini bilasiz. Xo`sh 40+72=112, demak javobi 3312.
Bu masalalar juda oson, chunki bu yerda sonlar bir marta yopiladi, ketma ketlikda misollar bir amaliy ham bo`lib yechilishi mumkin.
Iiki xil amalda bajariladigan masala, sxematik ko`rinishda keying namunada ko`rinadi.


Karl Fridrix Gouss matematika bo`yicha istedot egasi.
Quyidagi keltirilgan uch xonali qo`shimcha maqshlarni mash qiling va so`ngra siz o`zingizni xotirjam his etadigan va e`tibor bermaydigan juftlarga qadar o`zingizni bir nechtangizga qo`shing. (bu savollarning javoblarini kitobning oxirida topishingiz mumkin) Karl Fridrix Gouss matematika bo`yicha g`ayrioddiy. O`ta iste`dotli bola edi. U tez-tez gapirishdan oldin hisob-kitoblarni qanday qilishni o`rgandi. U uch yoshga to`lganida, arigmetikani o`rgana boshlaganidan oldin, otasining ish haqini to`g`irlab, shunday dedi; “hisoblash to`g`ri emas”. Keyinchalik hisobni tekshirish yosh Karlning to`g`ri ekanini ko`rsatdi. O`n yillik o`quvchi sifatida Gouss quyidagi matematik muammolarni oldi: 1 dan 100gacha raqamlar soni qancha? Do`stlari qog`oz va qalam bilan hisob kitob qilsa, Gauss darhol 1 dan 50 gacha sonlarni tarqatib yuborganini angladi. Chapdan o`nga, O`ndan cgapga, 1-50 raqamlar ro`yxatining o`ng qismida, har bir kombinatsiya miqdori 101 (1+100,2+99,3+98,-) ni beradi, va natija 101x50=5050 bo`ladi. U butun misollarni hisoblab chiqdi va javobini uning taxtasida yozdi va uni o`qituvchining stoliga qoydi. “ bu yerda ustoz juda ta`sirlanib, arifmetika bo`yicha eng yaxshi darsliklarni sotib olish uchun o`z pulini sarfladi va Gaussga berdi:”
Gauss boshqalar uchun matematika o`qituvchisi bo`ldi va oxir-oqibatda tarixda eng katda matematiklardan biri bo`lib, uning nazariyalari ilm-fan hizmatida bo`ldi.
Uch xonali murakkab misollar.

Ayirish .
Ikki xonali sonlarni ayirish jarayonida, siz uni bitta raqamli raqamini olib tashlash (yoki qoshib qo`yish) ga keltirib vazifani soddalashtirmoqchisiz. Keeling oddiy ayirish misolidan boshlaylik.

Ya`ni 25 ni 20 va 5 ga ajratib olamiz, so`ng 86 dan avval 20 ni ayirib natijadan 5ni ayiramiz.

Albatta shu kabi misollarni ajratib olmay ishlash ham noqulaylik keltirmaydi. Ammo ayiruvchining birlar xonasidagi raqami ayriluvchining birlar xonasidagi raqamdan kata bo`lsa ajratib olib ayirish qo`l keladi.
yoki
Ushbu misolni yodda tutishning ikki usuli bor.

1. 
   Avval 20 ni ayiramiz, keyin 9 ni
   

86-29=66-9=57. Avval 20ni, so`ng 9ni ayiramiz.

2. 
   Avval 30ni ayiramiz, keyin 1ni qo`shamiz.
   

86-30=56+1=57
Qaysi usuldan foydalanmang baribir natija o`zgarmaydi.
Agar ikki xonali sonlani ayirishda ayiruvchini yaxlitlash kerak bo`lsa u xolda uning birlar xonasidagi 10 gacha to`ldiruvchisi bo`lgan sonni qo`shib misollar ayrilgandan so`ng , 10 gacha to`ldiruvchini natijaga qo`shib qo`yish kifoya.
Masalan 54- 28 bo`lsa ayiruvchi bo`lmish 28 ning 1 lar xonasidagi 10 gacha to`ldiruvchisi (10-8) 2 bo`ladi va uni 28 ga qo`shib 30 qilib yaxlitlab olamiz, so`ng 54 dan 30 ni ayirib natijaga 2 ni qo`shib qo`yamiz

Keeling yana bir misolni amalda ko`raylik.

O`zingizga qulay bo`lgan usulda yuqoridagidan xulosa qilib bajaring.
Mashqalar; ikki xonali sonlarni ayirish.

Uch xonali sonlarni ayirish.
Keling uch xonali sonlarni ayirishni ko`rib chiqaylik.

Uch xonali sonlarni ayirishda ayiruvchini xona birliklariga ajratib, ketma ketlikda yuzlar xonasidagi sonni ayirib, so`ng 10 lar xonasidagi sonni va 1 lar xonasidagi son ayriladi.

Shu kabi misollarni yana boshqa usullardan foydalanib ham yechish mumkin. Masalan ayiruvchining o`nlar xonasidagi sonni 100 gacha to`ldiruvchisi bo`lgan sonni qo`shib, berilgan sondan ayirib, ayiruvchining o`nlar xonasidagi sonning 100 gacha to`ldiruvchisi bo`lgan sonni qo`shib qo`yish kifoya. Masalan;

Bir qarashda ancha murakkab ko`rinishi mumkin, ammo bu usul ancha qulay va kam vaqt talab qiladi.

Endi o`zingizni sinab ko`ring!

Avval 853 dan 700 sonini ayiramiz va 853-700=153 soni hosil bo`ladi. Ayiruvchini 8 ga oshirib ayirganingiz hisobiga 153 soniga 8 sonini qo`shib qo`yish lozim.

Qo`shimchalardan Foydalanish.
100 raqamidan qanchalik uzoqda ekaningizni tezda ayting.

Mana javoblari;

*Endi quyidagi ikki xonali raqamli raqamlarga qo`shimchalar izlang.

Qolgan to’ldiruvchilar41, 4, 56, 92. E’tibor bering, matemaga statusida bo’lib, siz to’ldiruvchilarni xuddi qolganlariga o’xshab chapdan o’ngga aniqlaysiz. Biz ko’rganlarimizdek birinchi sonni 9 gacha ko’paytiramiz, ikkinchi sonni 10 gacha (0 bilan tugaydigan sonlar bundan mustasno, masalan, 30+70=100), lekin bunday to’ldiruvchilarni aniqlash onson.
To’ldiruvchilar bilan og’zaki ayirmaning aloqasiqanday? Ular murakkab masalalarni ayirishga, oddiy misollarni qo’shishga imkon beradi. Kelinglar, bizga ozgina qiyinchilik tug’dirgan masalalarni amalda ko’rib chiqamiz.

Avval 468 ni o’rniga 500 ni ayiramiz, va natija 225 bo’ladi. (725-500=225). Ammo keyin biz qancha ko’p ayirganimizni aniqlashimiz kerak. Buning uchun qayta yana qancha qo’shishimiz kerak. To’ldiruvchilarni ishtirokida biz javobni tezda aniqlaymiz. 500 soni 468 dan qancha uzoq? 68 soni100 sonidek. Agarda siz 68 ni to’ldiruvchisini qidirsangiz tepada ko’rsatilgan usul bilan tezda topasiz, va 32 hosil bo’ladi. 32 ga 225 ni qo’shing va javob tariqasida 257 ni qabul qiling.