Mental Arifmetika

Mental Arifmetika


PEdagogika fakulteti Bot 17/1 guruh talabalari
2018-yil
Arthur Benjamin va Michael Shermer

Keling og’zaki matematikadagi eng sevimli qahramonliklarimdan boshlasak: qanday qilib miyada hohlagan ikki xonali sonni 11 ga ko’paytirish mumkin, agar siz buni sirini bilsangiz bu juda oson.

Mana bu misolni tasavvur qiling .

Ushbu misolda sonlarni qo’shishning o’zi kifoya, 3+2=5, so’ng 5 ni 2 chi va 3 chini orasiga joylashtirish kerak.

Bundan oson bo’lishi mumkinmi? Endi siz urinib ko’ring.

Shundan buyon 5+3=8 bo’lganidek javob juda oddiy.

Yana misol. Hech narsani yozmay va hech qayerga qaramay mana bu nechchiga teng bo’ladi.

Sizning qo’lingizdan keldi (yoki amalladingiz ) 891? Tabriklayman.
Hozircha siz unchalik ruxlanmang , men sizga bilishingiz kerak bo’lgan narsaning yarmini ko’rsatdim. Masalan keyingi misolni ko’ramiz.

8+5=13 bo’lishiga qaramay, javob 8135! Emas.
Xuddi oldingidek 3 soni o’rtaga yoziladi, lekin 1 8 soniga qo’shilganda to’g’ri javob :935
Misolni mana bu ko’rinishda tasavvur qiling:

Mana yana misol: 57x11 ko’paytirishga urinib ko’ring.
5+7=12 ga teng bo’lganidek, yechimi bunday bo’ladi.

Shunday qilib endi sizning galingiz. Qanchalik tez ko’paytira olar ekansiz.

Agar siz 847 javobini olgan bo’langiz,o’zingini yelkangizga urib qo’yishingiz mumkin. Siz matematik afsungarga aylanish yo’lidasiz.
Men o’z malakalarimdan bilamanki, agar siz do’stingiz yoki o’qituvchingizga hohlagan ikki xonali sonni miyada 11 ga ko’paytira olishingizni aytsangiz, 99 ni 11 ga ko’paytirib berish iltimosi o’zini uzoq kuttirmaydi siz tayyor bo’lishingiz uchun keling shuni hozir bajaramiz.
9+9=18 ga teng bo’lganligi uchun, javob:
’
O’rgangan yangi malakalaringizni bir qancha amaliyotda yaxshilab qo’llang, keyin maqtansangiz bo’ladi. Bu qanday ta’sir ko’rsatishini ko’rib, siz hayotda qolishingiz mumkin.( Sizni ochish yoki ochmaslikni ozingiz hal qilasiz).
Oxiriga xush kelibsiz. Shu paytgacha sizda mana bunday bir necha savollar tug’ilishi kerak edi.
Uch xonali yoki undan ko’p sonlarni 11 ga ko’paytirish uchun biz berilgan usuldan foydalanamizmi?
Shak- shubhasiz. Misol uchun, 314x11 ning javobi 3 dan boshlanib 4 da tugaydi. Chunki 3+1=4

1. 
   ga + 4 esa 5, shunda javobi 3454. Hozircha bundanda mukammal misollarni keyinroqqa olib qo’yamiz.
   

Ehtimol o’zingizga o’zingiz savol berayotkandirsiz.
“ 11 ga ko’paytirishimiz yaxshi lekin bundan ham katta sonlarchi? Qanday qilib biz 12, 13, yoki 36 ga ko’pytira olamiz?
Bu savolingizga mening javobim shu: sabr! Bu haqida batafsilroq kitobning keying sahifalarida yozilgan. Kitobning 2, 3, 6 va 8- boblarida siz ko’paytirishning usullarini o’rganib chiqasiz, hohlagan ikki sonni bir – biriga ko’paytirishni ham, undan ham yaxshisi, har bir holat uchun maxsus qoidalarni yodlash shart emas. Bir hovuch usullar mana shu sizga sonlarni miyada tez va oson ko’paytirishga yordam beradi.
Kvadratga ko’paytirmoq va undan ham katta darajaga
Mana yana bir usul.
Ehtimol bilsangiz kerak kvadratning soni, bu berilgan son va uni o’ziga yana bir bor ko’paytirishdir. Masalan 7 ning kvadrati bu 7x7=49. Keyinroq men sizlarga oson usulni o’rgataman. Shu usul orqali siz hohlagan ikki xonali yoki uch xonali ( unadan ham ko’p) sonlarning kvadratini oson hisoblab chiqarasiz. Ayniqsa shu son 5 bilan tugasa, shu usuldan foydalanish qo’l keladi. Shuning uchun keling hozir shu usuldan foydalanib ko’ramiz.

1. 
   Chiqqan javob kvadratga ko’paytirilgan birinchi sonni undan keying iyerarxiyaga ko’paytirilgan bo’lib, shuning natijasidan boshlangan bo’lishi kerak.
   
2. 
   Chiqqan javob 25 da tugashi kerak.
   

Masalan 35 ni kavadratga oshirish uchun biz shunchaki birinchi sonni (3)iyerarxiyaga undan keyin turadigan (4) ga ko’paytiramiz, undan keyin 25 ni qo’shamiz, chunki 3x4=12, javob esa 1225.

Javob: 1225.
Keling 85 ni kvadratga oshiramiz? 8x9=72 bo’lgani uchun biz o’zimizga 85x85=7225:

Javob: 7225
Shunga o’xshash usuldan foydalanishimiz ham mumkin, birinchi sonni bir xil bo’lgan ikki xonali sonlarni bir biriga ko’paytirganimizda va berilgan ikkinchi sonlarni jami 10. Chiqqan javob yuqorida ko’rsatilgan usul yordamida chiqqan son bilan boshlanadi.( birinchi sonni, undan keying iyerarxiya soniga ko’paytirish yo’li).
Va ular sonlarni ko’paytirishda qatnashadi. Masalan 87x87 (ikki sonlar ham 8 da boshlanadi ularning oxirgi sonlarining jami esa 3+7=10 chunki 8x9=72 va 3x7=21
Javob: 7721 bo’ladi.

O’xshash usul bilan 84x86=7224. Endi sizning navbatingiz, urinib ko’ring.

Javob nimadan boshlanadi?
2x3=6 dan nimada to’xtaydi?
6x4=24 da.
Muvofiq ravishda 26x24=624
Yodingizda bo’lsin berilgan usul faqat sonlarning birinchi sonlari bir xil bo’lsagina qo’llaniladi. Oxirgilari jami 10 ni bersa.
Shunday qilib, bir zumda aniqlashimiz uchun mana bundan foydalanamiz:

Siz so’rashingiz mumkin:
“Agar oxirgi sonlar jami 10 bo’lmasachi? Biz baribir berilgan usuldan foydalanishimiz mumkin, 22x23 hisoblash uchun.
Hozircha yo’q. Lekin men sizlarga 8- bobdagi oddiygina usulni ko’rsataman, negaki shunga o’xshash misollarni hisoblash uchun ” birgalikdagi yaqinlik usuli bilan”
(22x23 amallari uchun siz 20x25 ni qo’llaysiz va 2x3 ni qo’shasiz va 500+6=506 javobini olasiz, lekin men oldinda ketib qoldim).
Siz nafaqat shu usullardan foydalanasiz, balki ularning harakat prinsplarini ham tushunasiz.

“ Og’zaki qo’shish va ayirish usullari bormi?”

Batafsilroq keying bobda. Agar siz meni ikki so’z bilan usulni tushuntirishga majburlaganingizda, men aytgan bo’lardim: “chapdan ongga” mana qisqa javob:
Keyingi ayirishga masalasini tasavvur qilib ko’ring:

Ko’pchilik insonlarga bunday misolni miyada yoki qog’ozda ishlash yoqmasligi mumkin, keling barchasini qisqartiramiz.
587ni ayirgandan ko’ra 600 nin ayiraylik. Chunki 1200-600=600 demak:

Lekin biz 13 ga ko’p ayirdik. (3- bobda qanday qilib 13 ekanligi batafsilroq tushuntirib berilgan).
Shunday qilib bizning misolimiz, qo’shish uchun oson misolga aylanib qoldi.

Buni og’zaki yozish oson, (ayniqsa chapdan ongga).
Demak,1241-587=654
Ozroq matematikani ishlatgan holda, 9- bobda yozilganidek siz osonlikcha 10 sonining jamini hisoblashingiz mumkin.

Ushbu sirni fosh qila olmayman, faqatgina shama qilishim mumkin. Chiqqan javobni 935 ni ushbu bobda uchratgan edik. Yanada ko’proq usullarni esa siz 9-bobda topishingiz mumkin. Siz berilgan ikki sonning xususiyligini ham topa olasiz:
359:222=1,61
( birinchi uchta son)
Biz ham ko’p muhokama qilishimiz kerak bo’lish masalasi bo’yicha ( oddiy va o’nlikni ham). 4- bobda.
Yanada ko’p amaliy maslahatlar.
Mana eng zo’r masalahat tez choychaqani sanash uchun. Tasavvur qilib ko’raylik restaranda sizga 42 dollarlik hisob olib kelishdi va siz 15% choychaqa qoldirishni hohladingiz. Avvalambor biz 42% ning 10% ni hisoblab chiqamiz, bu 4 dollar 20 sent bo’ladi. Agar biz bu sonni yana yarimga qisqartirsak, bu 2 dollar 10 sent bo’ladi. Bu hisobimizning 5% ni tashkil etadi. Bu sonlarni qo’shganimizda shunda 6 dollar 30 sent bo’ladi. Aniqrog’i hisoblashning 15% .

Siz bilgan va ishlatadigan og’zaki tezkor hisob bilan bir qatorda, aniq hisobga zaruriyat bo’lmaganida.