Məktəb həndəsə kursunun təkmilləşdirilməsi və ikilik prinsipi g I r I Ş

ƏLAVƏ 2


Qaliley həndəsəsində ikilik prinsipi

İkilik prinsipinin ən aydın və əyani şəkildə təzahür edildiyi qeyri-Evklid həndəsələrindən biri də Qaliley həndəsəsidir. Qaliley həndəsəsi italyan alimi, fiziki, astronomu, riyaziyyatçısı və mexaniki Qalileo Qalileyin (1564-1642) şərəfinə adlandırılmışdır. Qalileyin klassik mexanika üçün kəşf etdiyi nisbilik nəzəriyyəsi belə ifadə olunur:

İnersial hesab sistemlərində fiziki proseslər həmin sistemin sükunətdə və ya bərabərsürətli düzxətli hərəkətdə olmasından asılı olmayaraq eyni cür baş verir. Və yaxud:
Əgər mexanikanın qanunları hər hansı bir koordinat siste-mində doğrudursa, onda həmin sistemə nəzərən bərabərsürətli düz-xətli hərəkətdə olan digər sistemdə də doğrudur.
İnersial sistem dedikdə maddi nöqtənin heç bir xarici təsir olmadıqda öz sürətini uzun müddət saxlaya bildiyi sistemlər nəzərdə tutulur.
Qaliley öz nəzəriyyəsini əsaslandırmaq üçün çoxlu sayda təcrübələr aparmış və nisbilikprinsipinin ödəndiyini praktik olaraq sübut etmişdir. Məsələn, hərəkətdə olan gəmidə oturmuş sərnişin topu yuxarıya atarsa, top arxaya deyil, düz xətt boyunca aşağı düşər və sərnişin onu tuta bilər. Və yaxud, hərəkətdə olan gəmidəki sərnişin gəmidə hansı fiziki eksperimentləri apararsa, eyni nəticələri sahildə oturub ala bilər.
Qaliley həndəsəsi Evklid həndəsəsindən fərqlidir, lakin hər iki həndəsənin oxşar cəhətləri də vardır. Elmi ədəbiyyatlarda bu həndə-səyə “yarıevklid”, “izotrop”, “parabolik” və ya sadəcə “qaliley” hən-dəsəsi deyilir. Bu həndəsə Eynşteynin nisbilik nəzəriyyəsinə əsaslanan psevdoevklid həndəsəsinə çox yaxındır. XVII əsrin əvvəl-lərində Qaliley hələ bu həndəsənin varlığı haqqında məlumatsız idi. Bərabərhüquqlu həndəsələrin varlığı və mümkünlüyü yalnız XIX əsrdə müəyyən edildi.
Tutaq ki, boş olmayan M çoxluğunda G çevirmələr qrupu verilmişdir. İki F və F^/ fiqurları o zaman ekvivalent adlanır ki, G qrupunda elə f çevirməsi olsun ki, f(F)=F^/ bərabərliyi ödənsin. Məsələn, M-müstəvinin nöqtələr çoxluğu, G isə hərəkət çevrilməsidirsə, hərəkət zamanı hər bir fiqur özünə bərabər fiqura keçir. Onda “G-ekvivalentliyi” termini “bərabərdir” termini ilə əvəz oluna bilər. G-oxşardırsa, “G-ekvivalentliyi” oxşarlıq çevrilməsidir. G-afin çevrilməsidirsə, “G -ekvivalentliyi” - afin ekvivalentliyidir.
Tutaq ki, F fiquru verilmişdir. G qrupunun ixtiyari çevrilmə-sində F fiqurunun dəyişməyən xassələri F fiqurunun G qrupun­a nəzərən invariant xassələri adlanır. Müstəvinin aşağıdakı invari-antları vardır: nöqtələr arasındakı məsafə, skalyar hasil, bucağın dərəcə ölçüsü, parçaların nisbəti, üç nöqtənin sadə nisbəti, düz xətlərin paralelliyi, hərəkət çevrilməsi, oxşarlıq, afin çevrilmə.
Tutaq ki, düz xətt üzərində (Ox) və bu sistemə nəzərən v sürətilə hərəkət edın (Ox^/) koordinat sistemləri verilmişdir. (Ox) koordinat müstəvisində zamanın t anında nöqtənin koordinatı x-a bərabər olarsa, (Ox^/) sistemində həmin nöqtənin koordinatı x^/=x+vt+a olar. Burada a – t=0 anında O nöqtəsinin (Ox) koordinat sistemindəki koordinatıdır. Onda aşağıdakı kimi ifadələri alarıq:
x^/=x+vt+a
t^/=t+b
Sadəlik üçün x-i y ilə, t-ni x ilə, (Ox) və (Ox^/) koordinat sistemlərini isə yeganə bir (Oxy) sistemi ilə əvəz etsək, alarıq:
x^/=x+b
y^/ =y+vx+a
Bu sistem Qaliley həndəsəsində Qaliley çevrilməsi adlanır. Beləliklə, bu həndəsə mexanika ilə əlaqədar olub, müstəvinin hər hansı bir (x, y) nöqtəsini (x+a, y+bx+c)(a, b, c € R) nöqtəsinə çevirir. Qaliley həndəsəsi əslində Evklid həndəsəsindən daha sadədir.
Qaliley həndəsəsində düz xəttin tənliyi y=kx+b –dir. (x, kx+b) nöqtəsi G(a, b, c) çevrilməsi nəticəsində (x+a, kx+l+bx+c) nöqtəsinə keçir. x₁=x+a işarə etsək, bu çevrilmədə alınan nöqtənin koordi-natları (x_1, (k+x)x₁+l+c-ka-ba) olar.
Qaliley həndəsəsində iki nöqtə o zaman üst-üstə düşür ki, onlar arasındakı məsafə 0-a bərabər olsun.
Qaliley çevirmələr qrupunun əsas xassələri aşağıdakılardır:
Hərəkət zamanı:

1. 
   düz xətt düz xəttə,
   
2. 
   paralel düz xətlər paralel düz xətlərə,
   
3. 
   AB və CD düz xətləri elə A^/B^/ və C^/D^/düz xətlərinə çevrilir ki,
   

C^/D^/: A^/B=CD:AB

4. 
   F fiqurunu sahəsi onun sahəsinə bərabər olan F^/fiquruna, Oy oxuna paralel olan düz xətti elə Oy oxuna paralel düz xəttə (belə düz xətlərə xüsusi düz xətlər deyilir) çevirir.