Məktəb həndəsə kursunun təkmilləşdirilməsi və ikilik prinsipi g I r I Ş

ƏLAVƏ 1


Qızıl kəsim prinsipi


"Həndəsə iki qüdrətli xəzinəyə malikdir.
1-cisi – Pifaqor teoremi,
2-cisi – son və orta münasibətdə
parçanın bölünməsi
İohann Kepler

Qızıl kəsim prinsipi parçanın elə nisbətdə bölünməsidir ki, parçanın uzunluğunun böyük hissənin uzunluğuna olan nisbəti böyük parçanın kiçik parçanın uzunluğuna olan nisbətinə bərabər olsun. Bu prinsipin özü elə ikilik və ya duallıq prinsipinin əyani təzahürüdür. (şək.35)

a



x

Şək.35

Düzgün çoxbucaqlılar qədim yunan alimlərinin nəzərini hələ Arximeddən çox-çox əvvəlki dövrlərdə cəlb etmişdi. Öz ittifaqlarına emblem kimi pentaqramı-beş güşəli ulduzu seçən pifaqorçular çevrənin bərabər hissələrə bölünməsinə, yəni düzgün cızılmış çoxbucaqlının qurulması məsələsinə çox böyük diqqət yetirirdilər.
Pentaqramda B və C nöqtələri AD parçasını qızıl kəsim nisbətində bölür. Həmçinin bu fiqurun – beşguşəli ulduzun digər tərəfləri də həmin nisbətdə bölünür. Elə bu səbəbdən Pifaqor pentaqrama “xüsusi seçilmiş” fiqur kimi baxır və onu beş ünsürün – od, hava, su, torpaq və efirin simvolu hesab edirdilər. (şək.36)

A



B



C



Şək.36



D

Almaniyada intibah dövrünün tərənnümçüsü olan Albrext Dyürer (1471-1527-ci illər), Ptolemeyin “Almaqest” əsərindən istifadə edərək düzgün beşbucaqlının qurulmasının təcrübi dəqiq üsulunu göstərmişdir.(http://muhaz.org/ilahi-eded.html)

Düzgün çoxbucaqlıların qurulmasına Dyürerin marağı öz əksini orta əsrlərdə belə çoxbucaqlıların ərəb və qotik arnamentlərdə, odlu silahlar kəşf olunduqdan sonra isə qalaların planlaşdırılmasında istifadə edilməsində tapmışdır.
Orta əsrlərdə düzgün çoxbucaqlıların qurulması üçün istifadə edilən üsullar təxmini xarakter daşıyırdı, ancaq bu üsullar sadə (və yaxud da sadə olmaya bilməzdi) idi: bu zaman qurmada pərgarın arasının dəyişdirilməsi tələb olunmayan üsula üstünlük verilirdi. Görkəmli rəssam Leonardo Da Vinçidə çoxbucaqlılar haqqında çox yazıb, lakin məhs Dyürer çoxbucaqlıların qurulmasının orta əsr üsullarını sonrakı nəsilə ötürmüşdür.Dyürer Evklidin “Başlanğıçlar” əsəri ilə tanış idi, lakin o, özünün “Ölçmə üçün rəhbərlik” (pərgar və xərkeş vasitəsilə qurma) əsərində Evklid tərəfindən təklif olunan və Evklid qurmaları kimi təcrübi dəqiq olan düzgün beşbucaqlının qurulması üsullarını göstərməmişdir. Dyürer bilirdi ki, bu məsələ həll olunan deyil, sübutlar isə yalnız XIX əsrdə tapılmışdı.
Düzgün beşbucaqlının Evklid tərəfindən təklif olunan qurulmasında orta və son nisbətdə kəsiyin birbaşa bölünməsindən istifadə edilmişdir ki, bu da son nəticədə bir neçə 100 illiklər ərzində rəssam və memarların nəzərini cəlb edən qızıl kəsim adını almışdır.
B nöqtəsi ABE kəsiyini orta və son nisbətdə bölür və yaxud, əgər kəsiyin böyük hissəsinin kiçik hissəsinə olan nisbəti bütün kəsiyin böyük hissəyə olan nisbətinə bərabər olarsa, qızıl kəsim əmələ gəlir.
Nisbətlərin bərabərliyi şəklində yazılarsa, qızıl kəsim aşağıdakı bərabərlik şəklində yazılır:
АВ/ВЕ= АВ/АЕ

Bu cür yazılış qədim yunan heykəltaraşı Fidiyanın (b.e.ə. V əsr) şərəfinədir. Fidiya Afinada Parfenon məbədinin tikilişinə rəhbərlik edirdi. Bu məbədin hissələrində çoxlu sayda φ ədədinə rast gəlmək olar.

Qəbul edilmişdir ki, qızıl kəsim anlayışını elmə qədim yunan filosofu və riyaziyyatçısı Pifaqor (b.e.ə. VI əsr) gətirmişdir. Belə güman olunur ki, Pifaqor qızıl kəsim haqqında biliklərini misirlilərdən və babillilərdən almışdır. Və həqiqətəndə, Xeops pira-midasının hissələri, məbədlər, barelyeflər, Tutanxamonun qəbrindən tapılan məişət və bəzək əşyaları bütün bunları yaradan zaman misir ustalarının qızıl kəsim nisbətindən istifadə etdiklərinin sübutudur. Fransız arxitektoru Le Korbyuze faraon I Setin Abidosda yerləşən məbədinin relyefindəvə faraon Ramzesi təsvir edən relyefdə fiqurların nisbətlərinin qızıl kəsimin ölçülərinə uyğun gəldiyini tapmışdır. Xesirin adı daşıyan qəbirdən olan qədim lövhənin relye-fində təsvir olunan Xesirin memarı əlində qızıl kəsimin nisbət­ləri göstərilən ölçü alətləri saxlayır.
Y
unanlar isə bacarıqlı həndəsəçi idilər. Hətta cəbri öz uşaq-larına həndəsi fiqurlar vasitəsilə başa salırdılar. Pifaqor kvadratı və bu kvadratın dioqanalı dinamik düzbucaqlıların qurulması üçün əsas idi. (şək.37)
Şək. 37.Dinamik düzbucaqlılar






şək.38

Platon (b.e.ə.427...347 illər) da həmçinin qızıl kəsim haqqında bilirdi. Onun “Timey” dialoqu Pifaqor məktəbinin riyazi və estetik baxışlarına və əsasəndə qızıl kəsim məsələlərinə həsr olunub.

Parfenon qısa tərəflərindən 8 sütuna, uzun tərəflərindən isə 17 sütuna malikdir. Binanın hündürlüyünün onun uzunluğuna nisbəti 0,618-ə bərabərdir. Əgər Parfenonun qızıl kəsim üzrə bölünməsinə nəzər salsaq, binanın fasadının bu və ya digər çıxıntılarını görmüş olarıq. Onun qazıntıları zamanı antik dünyanın arxitektor və heykəl-taraşlarının istifadə etdikləri pərgarlar tapılmışdır. Pompey pərga-rındada (Neapol müzeyində) qızıl kəsimin nisbətləri vardır. (şək.38)
Bizə gəlib çatan antik ədəbiyyatda qızıl kəsim anlayışına ilk dəfə olaraq Evklid “Başlanğıclar” əsərində rast gəlinir. “Başlanğıclar” əsərinin 2-ci kitabında qızıl kəsimin həndəsi izahı verilir. Bu əsərdə həmin prinsip sırf həndəsi mənada işlənir və aşağıdakı kimi şərh edilir:
Verilmiş parçanı elə bölməli ki, bötün parça və alınmış hissələrdən birinin əmələ gətirdiyi düzbucaqlı digər hissə üzərində qurulmuş kvadrata bərabər olsun. (sahələri mənasında) (şək.39)

S₁

S₂

Evkliddən sonra qızıl kəsimin tədqiqatı ilə Qipsikl (b.e.ə. II əsr), Papp (b.e II əsri) və başqaları məşğul olmuşlar. Orta əsrlər Avropası qızıl kəsimlə Evklidin “Başlanğıclar” əsərinin ərəb dilində tərcüməsi vasitəsilə tanış olmuşlar. Navarradan olan tərcüməçi Dj. Kampano bu təcrüməyə şərhlər vermişdir. Qızıl kəsimin sirri çox qısqanclıqla qorunurdu və ciddi sirr kimi saxlanırdı.

Bu məsələnin müxtəlif həlləri məlumdur. Həmin həllərin ara-sında məşhur isgəndəriyyəli alim Klavdiy Ptolemeyin (90-160-cı illər) çox sadə və əyaniliyi ilə seçilən bir həll üsulu xüsusilə maraqlıdır.
Tutaq ki, AB parçasını qızıl kəsim nisbətində bölmək istəyirik. Mərkəzi B nöqtəsində və radiusu AB-yə bərabər olan yarımdairə çəkirik. BC-ni yarıya bölsək, D nöqtəsini almış olarıq. Mərkəzi D nöqtəsində olan və radiusu DE-yə bərabər olan çevrə qövsünü AB-ni kəsənə qədər uzadırıq. Bu iki qövsün kəsişmə nöqtəsi –X nöqtəsi axtarılan nöqtə, yəni verilmiş parçanı qızıl kəsim nisbətində bölən nöqtədir.Bunu riyazi şəkildə isbat edək.