Gündüz Əvəzağa oğlu Əliyev Gülhava Akif qızı Nəbiyeva

36 
 
Həlli: 
Bayes düsturuna əsasən 
 
??????(??????
1
|??????) =
??????(??????
1
) ∙ ??????(??????|??????
1
)
??????(??????
1
) ∙ ??????(??????|??????
1
) + ??????(??????
2
) ∙ ??????(??????|??????
2
) + ??????(??????
3
) ∙ ??????(??????|??????
3
)
=
=
0,5 ∙ 0,3
0,5 ∙ 0,3 + 0,25 ∙ 0,4 + 0,25 ∙ 0,5
= 0,4 . 
 
Məsələ 3.5. 
Oyuncaq  fabrikində  istehsal  zamanı  üç  ?????? ,  ??????  və  ?????? 
dəzgahlarından istifadə olunur. Oyuncaqların 50%-nin istehsalında ?????? 
dəzgahından,  30%-nin  istehsalında  ??????  dəzgahından,  20%-nin 
istehsalında  isə  ??????  dəzgahından  istifadə  edilmişdir.  Ötən  ilin 
statistikasına  əsasən  müəyyən  olmuşdur  ki,  ??????  dəzgahında  istehsal 
olunan  oyuncaqların  4%-də,  ??????  dəzgahında  istehsal  olunan 
oyuncaqların 2%-də, ?????? dəzgahında istehsal olunan oyuncaqların isə 
4%-də nöqsan var. 
a)
 
Təsadüfi 
olaraq 
seçilmiş 
oyuncaqda 
nöqsan 
aşkarlanmasının ehtimalını tapın. 
b)
 
Əgər  təsadüfi  olaraq  seçilmiş  oyuncaqda  nöqsan 
aşkarlanmışdırsa,  bu  oyuncağın ?????? dəzgahında  istehsal  olunmasının 
ehtimalını tapın. 
 
Həlli: 
??????
 oyuncaqda  nöqsan  aşkarlanması  hadisəsi  olsun.  Onda 
??????(??????) = 0,5,
  ??????(??????) = 0,3,   ??????(??????) = 0,2,   ??????(??????|??????) = 0,04,         
??????(??????|??????) = 0,02
,  ??????(??????|??????) = 0,04 .  Tam  ehtimal  düsturuna  əsasən 
alırıq ki, 
 
??????(??????) = ??????(??????|??????) ∙ ??????(??????) + ??????(??????|??????) ∙ ??????(??????) + ??????(??????|??????) ∙ ??????(??????) = 
= 0,04 ∙ 0,5 + 0,02 ∙ 0,3 + 0,04 ∙ 0,2 = 0,034 . 
 

---

37 
 
Asılı olmayan hadisələr. 
Tərif. A və B eksperimentdə müşahidə oluna bilən hadisələr, 
??????(??????) > 0
 olsun.  A  hadisəsinin  şərtsiz  ehtimalı  onun  B  hadisəsinə 
nəzərən şərti ehtimalına bərabərdirsə, yəni  
 
??????(??????) = ??????(??????|??????) 
 
bərabərliyi  ödənilərsə,  onda  A  və  B  hadisələrinə 
asılı  olmayan 
hadisələr deyilir. 
 
Nümunə 3.1. 
Düzgün  oyun  zərinin  atılması  eksperimentində ?????? ={üçdən 
kiçik  xalın  düşməsi},  ?????? = {cüt  xalın  düşməsi}  hadisələri  olsun. 
Aydındır  ki,  ?????? = {1,  2}  və  ?????? = {2,  4,  6}.  Onda  ??????(??????) =
2
6
   və 
??????(??????|??????) =
??????(??????∩??????)
??????(??????)
=
1 6
⁄
1 2
⁄
=
2
6
=
1
3
.  Doğrudan  da,  ??????  hadisəsi  ?????? 
hadisəsindən asılı deyil. 
 
Tərif.  Aşağıdakı  bərabərlik  ödənilərsə, ?????? və ?????? hadisələrinə 
asılı olmayan hadisələr deyilir. 
 
??????(?????? ∩ ??????) = ??????(??????) ∙ ??????(??????). 
 
Məsələ 3.6. 
Eksperiment  dördüzlü  düzgün  oyun  zərinin  iki  dəfə 
atılmasından  ibarətdir.  Aydındır  ki,  elementar  hadisələr  fəzası  16 
nəticədən ibarətdir və hər bir elementar hadisə eyni bir 
1
16
 ehtimalına 
malikdir. 
?????? =
 {birinci zərdə 1 xalının düşməsi}; ?????? = {iki zərdə düşən xallar 
cəminin  5-ə  bərabər  olması}  hadisəsi  olsun. ?????? və ?????? hadisələri  asılı 
olmayan hadisələrdirmi? 
 

---

38 
 
Həlli: 
??????(??????) = ??????{(1, ??????)} =
4
16
 
 
və 
??????(??????) = ??????{(??????, ??????): ?????? + ?????? = 5} =
4
16
.
 
 
??????(?????? ∩ ??????) = ??????{(1, 4)} =
1
16
.
 
Alırıq ki, 
 
1
16
= ??????(?????? ∩ ??????) = ??????(??????) ∙ ??????(??????) =
1
4 
∙
1
4
=
1
16
 . 
 
Deməli, ?????? və ?????? hadisələri asılı olmayan hadisələrdirlər. 
 
Məsələ 3.7. 
Kömür mədənlərinin axtarışı ilə məşğul olan şirkət Virciniya 
və Nyu Meksika ştatında qazıntılar aparır. ?????? – Virciniya ştatında, ?????? 
isə Nyu Meksika ştatında kömür mədəninin tapılması hadisəsi olsun. 
Fərz edək ki, ?????? və ?????? ehtimalları ??????(??????) = 0,4 və ??????(??????) = 0,7 olan asılı 
olmayan  hadisələrdir.  Bu  ştatlardan  heç  olmasa  birində  kömür 
mədəninin olmasının ehtimalını tapın. 
 
Həlli: 
İki  ştatdan  heç  olmasa  birində  kömür  mədəninin  olması 
ehtimalı ??????(?????? ∪ ??????)-dir. Beləliklə, 
 
??????(?????? ∪ ??????) = ??????(??????) + ??????(??????) − ??????(?????? ∩ ??????) = ??????(??????) + ??????(??????) −
 
−??????(??????) ∙ ??????(??????) = 0,4 + 0,7 − 0,4 ∙ 0,7 = 0,82.
 
 
Teorem 3.2. Əgər ?????? və ?????? asılı olmayan hadisələrdirsə, ?????? və 
??????̅
 hadisələri də asılı olmayan hadisələrdir. 

---

39 
 
İsbatı: 
 ?????? hadisəsini uyuşmayan iki hadisənin birləşməsi kimi ifadə 
edə bilərik: ?????? = ?????? ∩ (?????? ∪ ??????̅) = (?????? ∩ ??????) ∪ (?????? ∩ ??????̅). Beləliklə, 
 
??????(??????) = ??????(?????? ∩ ??????) + ??????(?????? ∩ ??????̅).
 
 
Buradan alınır ki,  
 
??????(?????? ∩ ??????̅) = ??????(??????) − ??????(?????? ∩ ??????) = ??????(??????) − ??????(??????) ∙ ??????(??????) =
 
= ??????(??????)(1 − ??????(??????)) = ??????(??????) ∙ ??????(??????̅).
 
 
Qeyd 3.1. Əgər ?????? və ?????? asılı olmayan hadisələrdirsə, onda ??????̅ 
və ??????̅ hadisələri də asılı olmayan hadisələrdir. 
 
Tərif. ??????
1
, ??????
2
, … , ??????
??????
 hadisələri üçün 
 
??????(??????
??????
1
∩ ??????
??????
2
∩ … ∩ ??????
??????
??????
) = ??????(??????
??????
1
) ∙  ??????(??????
??????
2
) ∙ … ∙ ??????(??????
??????
??????
)
 
 
bərabərliyi ??????
1
, ??????
2
, … , ??????
??????
 indekslərinin ixtiyari toplusu üçün ödənilərsə, 
??????
1
, ??????
2
, … , ??????
??????
 hadisələrinə 
külliyyatca  asılı  olmayan  hadisələr 
deyilir. 
 
Tərif. ??????
1
, ??????
2
, … , ??????
??????
 hadisələrinin ixtiyari cütü asılı olmayan 
hadisələrdirsə, ??????
??????
 hadisələri 
cüt-cüt asılı olmayan hadisələr adlanır.  
Başqa sözlə, əgər i, j, 1 ≤ ??????, ?????? ≤ ?????? indekslərinin ixtiyari cütü 
üçün  ??????(??????
??????
∩ ??????
??????
) = ??????(??????
??????
)??????(??????
??????
)  
bərabərliyi  ödənilərsə,  ??????
??????
 
hadisələrinə 
cüt-cüt asılı olmayan hadisələr deyilir.  
 
Teorem 3.3. n sayda hadisənin külliyyatca asılı olmamazlığı 
üçün 2
??????
− (?????? + 1)
 sayda bərabərlik, cüt-cüt asılı olmamazlığı üçün 
isə ??????
??????
2
 sayda bərabərlik ödənilməlidir. 

---