Gündüz Əvəzağa oğlu Əliyev Gülhava Akif qızı Nəbiyeva

33 
 
??????(??????) = ??????(??????
1
∩ ??????) + ⋯ + ??????(??????
??????
∩ ??????) = 
= ??????(??????
1
)??????(??????|??????
1
) + ⋯ + ??????(??????
??????
)??????(??????|??????
??????
) 
 
bərabərliyi  doğrudur.  Bu  düstur  tam  ehtimal  düsturu  adlanır.  Tam 
ehtimal düsturu Şəkil 2-də aydın təsvir olunmuşdur: 
 
 
Şəkil 2 
 
??????
1
, ??????
2
, … , ??????
??????
 tam qrup əmələ gətirən hadisələr olduğundan ?????? 
hadisəsini ??????
??????
∩ ??????
 hadisələrinin birləşməsi kimi ifadə etmək olar: 
 
?????? = (??????
1
∩ ??????) ∪ (??????
2
∩ ??????) ∪ … ∪ (??????
??????
∩ ??????).
 
 
Ehtimalın additivlik xassəsinə əsasən 
 
??????(??????) = ??????(??????
1
∩ ??????) + ??????(??????
2
∩ ??????) + ⋯ + ??????(??????
??????
∩ ??????)
. 
 
Şərti ehtimalın tərifindən alırıq ki, 
 
??????(??????) = ??????(??????
1
) ∙ ??????(??????|??????
1
) + ??????(??????
2
) ∙ ??????(??????|??????
2
) + ⋯ +
 
+??????(??????
??????
) ∙ ??????(??????|??????
??????
).
 

---

34 
 
Məsələ 3.3. 
Seymur  şahmat  turnirində  iştirak  edir.  Onun  iştirakçıların 
yarısına  qalib  gəlmə  ehtimalı  0,3-dür  və  onları  I  qrup  iştirakçılar 
adlandıraq. Seymurun iştirakçıların 1 4
⁄
-ə qalib gəlmə ehtimalı 0,4-
dür və bu qrup iştirakçıları isə II qrup adlandıraq. İştirakçıların qalan 
1 4
⁄
-ə qalib gəlmə ehtimalı isə 0,5-dir və bu qrup iştirakçıları III qrup 
adlandıraq. Seymur təsadüfi qaydada seçilmiş bir şəxslə oynayır və 
onun qalib gəlmə ehtimalını tapın. 
 
Həlli: 
??????
??????
 i
-ci qrupdan olan rəqiblə oynama hadisəsi olsun. Onda biz 
alırıq ki,  
??????(??????
1
) = 0,5
 ,    ??????(??????
2
) = 0,25
 ,   ??????(??????
3
) = 0,25
 .  
B
  isə  Seymurun  oyunu  qalibiyyətlə  başa  vurması  hadisəsi 
olsun.  Onda  ??????(??????|??????
1
) = 0,3
,      ??????(??????|??????
2
) = 0,4
 ,    ??????(??????|??????
3
) = 0,5
  
olur. 
Beləliklə, tam ehtimal düsturunu tətbiq etsək alırıq ki, 
 
??????(??????) = ??????(??????
1
∩ ??????) + ??????(??????
2
∩ ??????) + ??????(??????
3
∩ ??????) =
 
= ??????(??????
1
) ∙ ??????(??????|??????
1
) + ??????(??????
2
) ∙ ??????(??????|??????
2
) + ??????(??????
3
) ∙ ??????(??????|??????
3
) =
 
= 0,5 ∙ 0,3 + 0,25 ∙ 0,4 + 0,25 ∙ 0,5 = 0, 375.
 
 
Bayes düsturu 
 
Fərz  edək  ki,  ??????
1
, ??????
2
, … , ??????
??????
 tam  qrup  əmələ  gətirən 
hadisələrdir və ?????? = 1, ??????
̅̅̅̅̅  üçün ??????(??????
??????
) > 0
. 
Fərz  olunur  ki,  B  hadisəsi  baş  vermişdir.  ??????
??????
 hadisələrinin 
ehtimallarını  B  hadisəsinin  baş  vermə  şərtinə  nəzərən  hesablamaq 
lazımdır. 
Teorem  3.1.  ??????
1
, ??????
2
, … , ??????
??????
 tam  qrup  əmələ  gətirən 
hadisələrdir  və ?????? = 1, ??????
̅̅̅̅̅̅    üçün ??????(??????
??????
) > 0
.  Onda ??????(??????) > 0 şərtini 
ödəyən B hadisəsi üçün 

---

35 
 
??????(??????
??????
|??????) =
??????(??????
??????
) ∙ ??????(??????|??????
??????
)
∑
??????(??????
??????
) ∙ ??????(??????|??????
??????
)
??????
??????=1
, ?????? = 1, ??????
̅̅̅̅̅ 
 
bərabərliyi doğrudur. Bu düsturlar 
Bayes düsturları adlanır. 
 
İsbatı: Əvvəlcə onu qeyd edək ki, 
 
??????(??????) = ??????(?????? ∩ Ω) = ?????? (?????? ∩ (⋃ ??????
??????
??????
??????=1
)) = ?????? (⋃(?????? ∩ ??????
??????
)
??????
??????=1
) =
= ∑ ??????(?????? ∩ ??????
??????
)
??????
??????=1
= ∑ ??????(??????|??????
??????
)??????(??????
??????
).
??????
??????=1
 
 
Beləliklə,  
 
??????(??????
??????
|??????) =
??????(??????|??????
??????
) ∙ ??????(??????
??????
)
??????(??????)
=
??????(??????|??????
??????
) ∙ ??????(??????
??????
)
∑
??????(??????|??????
??????
) ∙ ??????(??????
??????
)
??????
??????=1
 .
 
 
Məsələ 3.4. 
Tam  ehtimal  düsturunun  tərifindəki  Məsələ  3.3-ə  qayıdaq. 
Məsələnin  şərtinə  əsasən  ??????
??????
 i
-ci  qrupdan  olan  rəqiblə  oynama 
hadisəsidir və  
 
??????(??????
1
) = 0,5
 ,    ??????(??????
2
) = 0,25
 ,   ??????(??????
3
) = 0,25
 . 
 
Əgər ?????? hadisəsi Seymurun qalib gəlməsi hadisəsi olarsa, onda 
 
??????(??????|??????
1
) = 0,3
 ,    ??????(??????|??????
2
) = 0,4
 ,   ??????(??????|??????
3
) = 0,5
. 
 
Fərz  edək  ki,  Seymur  oyunu  qalibiyyətlə  baş  vurub.  Onun 
rəqibinin I qrupdan olmasının ehtimalı – ??????(??????
1
|??????)
-ni tapın. 

---