Chuvash respublika ta’lim instituti Kurs ishi trigonometriyadan yechishda foydalanish planimetrik muammolar

§ 2. Muammo shartlarini tahlil qilish
Muammolarni hal qilish - bu biroz g'ayrioddiy ish, ya'ni aqliy ish. Va har qanday ishni o'rganish uchun siz birinchi navbatda ishlashingiz kerak bo'lgan materialni, ushbu ish bajariladigan vositalarni yaxshilab o'rganishingiz kerak.
Agar siz biron bir muammoni diqqat bilan ko'rib chiqsangiz, u muammoda ko'rsatilgan shartlarga tayangan holda va hisobga olgan holda javob topishingiz kerak bo'lgan talablar yoki savolni ifodalashini ko'ramiz. Shuning uchun, har qanday muammoni hal qilishni boshlaganda, siz uni sinchkovlik bilan o'rganishingiz, uning talablari (savollari) nima ekanligini, muammoni hal qilish uchun qanday shartlar mavjudligini aniqlashingiz kerak. Bularning barchasi muammoni tahlil qilish deb ataladi.
Vazifa 1. To'g'ri burchakli uchburchakda aylananing teginish nuqtasi gipotenuzani uzunligi 5 sm va 12 sm bo'lgan segmentlarga ajratadi.Uchburchakning oyoqlarini toping.
Vazifani olganimizdan so'ng, biz uni diqqat bilan o'qib chiqdik. Biz e'tibor berishimiz mumkin bo'lgan birinchi narsa bu: unda ma'lum bayonotlar va talablar mavjud. Unda aytilishicha, "to'g'ri uchburchakda, chizilgan aylananing teginish nuqtasi gipotenuzani 5 sm va 12 sm uzunlikdagi segmentlarga ajratadi". Muammoning talabi shundaki, siz "uchburchakning oyoqlarini topishingiz" kerak.
Ko'rib turganingizdek, har qanday vazifani shakllantirish bir nechta bayonot va talablardan iborat. Muammoning bayonlari muammo shartlari deb ataladi.
Bundan ko'rinib turibdiki, masalani tahlil qilishda birinchi navbatda, masalani shakllantirishni shart va talablarga bo'lish kerak. E'tibor bering, muammoda odatda bitta shart emas, balki bir nechta mustaqil elementar (ya'ni, bundan keyin ajratib bo'lmaydigan) shartlar mavjud; Vazifada bir nechta talablar ham bo'lishi mumkin. Shuning uchun vazifaning barcha bayonotlari va talablarini alohida elementar shartlar va talablarga bo'lish kerak.
Ushbu muammoda quyidagi elementar shartlarni aniqlash mumkin:
1) masalada ko'rib chiqilayotgan uchburchak to'rtburchak;
2) bu uchburchakda aylana chizilgan;
3) aylananing gipotenuza bilan aloqa nuqtasi uni ikki segmentga ajratadi;
4) bu segmentlardan birining uzunligi 5 sm;
5) boshqa segmentning uzunligi 12 sm.
Ushbu vazifaning talablarini ikkita elementarga bo'lish mumkin.

1. 
   uchburchakning bir oyog'ining uzunligini toping;
   
2. 
   uchburchakning boshqa tomonining uzunligini toping.
   

muammoni shakllantirishdan ajratilgan ? Gap shundaki, muammoni tahlil qilishda, uning shartlarini muammoni shakllantirishdan ajratib qo'yishda, biz har doim bu tahlilni topshiriq talabi bilan bog'lashimiz kerak, go'yo doimiy ravishda talabga qarab. Boshqacha qilib aytganda, vazifani tahlil qilish har doim vazifa talablariga qaratilgan.
Ba'zi murakkabroq muammolar uchun yuqorida muhokama qilingan tahlilni davom ettirish tavsiya etiladi (muammoni individual shartlar va talablarga bo'lish). Ya'ni, izolyatsiya qilingan sharoitlar qanday tuzilganligini aniqlash (ular nimadan iborat).
Vazifa 2. Radiusi 4 sm va 6 sm bo'lgan ikkita aylanaga ichki umumiy teglar chizilgan bo'lib, ular o'zaro perpendikulyar bo'lib chiqadi. Doira markazlari orasidagi masofani hisoblang.
Ushbu vazifa quyidagi shartlarni o'z ichiga oladi:

1. 
   radiusi 4 sm bo'lgan markaz doirasi berilgan (bu erda "berilgan" so'zi bu doira ixtiyoriy markazdan qurilganligini anglatadi );
   
2. 
   boshqa markazdan radiusi 6 sm bo'lgan doira chizilgan ;
   
3. 
   bu ikki aylana shunday qurilganki, ularga umumiy ichki tangenslar tortilishi mumkin;
   
4. 
   bu ikki doiraning umumiy ichki tangenslari o'zaro perpendikulyar.
   

Ushbu shartlarni tahlil qilib, ularning har biri bir yoki bir nechta ob'ektlar va ularning ba'zi xususiyatlaridan iborat ekanligini ko'rishingiz mumkin. Shunday qilib, birinchi shartning ob'ekti aylana bo'lib, uning xarakteristikasi: bu doiraning radiusi 4 sm.Ikkinchi shartda ob'ekt ham xarakteristikaga ega bo'lgan doiradir: uning radiusi 6 sm.Uchinchi shartda. , ikkita ob'ekt mavjud: yuqoridagi ikkita doira va xarakteristikasi ularning tekislikdagi o'zaro pozitsiyasidir: ular ichki umumiy tangenslar ularga tortilishi mumkin bo'lgan tarzda joylashgan. Nihoyat, to'rtinchi shart ikkita ob'ektni o'z ichiga oladi: aylanalarga umumiy ichki tangenslar, ularning xarakteristikasi sifatida ularning munosabati ko'rsatilgan: ular o'zaro perpendikulyar.
Demak, masalaning har bir shartida bir yoki ikkita (ayrim hollarda ko’proq) ob’ektlar borligini ko’ramiz; agar shartda bitta ob'ekt mavjud bo'lsa, unda uning xususiyatlari ushbu ob'ektning qandaydir xossasi shaklida ko'rsatiladi; agar ikkita ob'ekt bo'lsa, u holda xarakteristikasi bu ob'ektlar orasidagi qandaydir munosabatlardir.
Ko'pincha muammoni tahlil qilish katta qiyinchiliklarga olib keladi.
Vazifa 3. Ikki doira bir nuqtaga tegib , bir xil chiziqqa nuqtalarda tegadi va mos ravishda . Agar bu doiralarning radiuslari barcha mumkin bo'lgan qiymatlarni qabul qilsa, barcha nuqtalar to'plami qanday raqamni hosil qiladi ?
Bir qarashda muammo ikki doirani qamrab olgandek tuyuladi. Ammo muammoli savolni yana bir bor diqqat bilan o'qing: nuqta qaysi raqamni tashkil etishini aniqlashingiz kerak (nuqta o'zgaruvchan). Bu shuni anglatadiki, biz doiralar to'plami va ularning teginish nuqtalari to'plami haqida gapiramiz. Shunga asoslanib, muammoni quyidagi shartlarga bo'lish mumkin:

1. 
   Aylanalar to'plami berilgan, ularning har biri berilgan nuqtada berilgan chiziqqa tegadi .
   

Bu erda ob'ekt doiralar to'plamidir va ularning xarakteristikasi bu to'plamdagi har bir doiraning xususiyatidir: u berilgan chiziqqa nuqtada tegadi .

2. 
   Aylanalar to'plami berilgan, ularning har biri ma'lum bir nuqtada berilgan chiziqqa (birinchi doiralar to'plami bilan bir xil tomonda) tegadi .
   

Bu holatning ob'ekti va xususiyatlari birinchi shartga o'xshaydi.

3. 
   Bu ikki toʻplamdan shunday juft aylanalar hosil boʻladi, bu juftlikning birinchi elementi birinchi toʻplamning aylanasi, ikkinchi elementi esa ikkinchi toʻplamning aylanasi boʻlib, ular oʻzaro tangensdir.
   

Bu shartning ob'ekti aylana juftlari to'plami bo'lib, ularning xarakteristikasi munosabatlardir: juftlikka kiritilgan doiralar o'zaro tangens.
E'tibor bering, bu juft aylanalar to'plami birinchi va ikkinchi doiralarning barcha doiralarini o'z ichiga olmaydi, lekin faqat belgilangan munosabatni (o'zaro teginish) qanoatlantiradigan doiralarni o'z ichiga oladi.
4. - hosil bo'lgan juftliklar tarkibiga kiradigan mos keladigan doiralar o'zaro teginadigan nuqta mavjud (3-shartga muvofiq). Bu shartning ob'ekti nuqta (o'zgaruvchan nuqta) va uning xarakteristikasi xususiyatdir: bu nuqta juftlikka kiritilgan doiralarning teginish nuqtasidir.
5. Nuqtalar to'plami ma'lum bir geometrik figuradir. Shartning ob'ekti - bu juftliklarga kiritilgan doiralarning o'zaro teginish nuqtalari to'plami va xarakteristikasi - bu to'plamning geometrik figura sifatida kerakli xossasi.
Vazifaning talabi beshinchi shart ob'ektining ushbu oxirgi xususiyatini topishdir.
Muammolarni dastlabki tahlil qilish natijalari qandaydir tarzda qayd etilishi va yozilishi kerak. Yuqorida biz foydalangan og'zaki, tavsiflovchi yozuv shakli, albatta, unchalik qulay emas . Vazifalarni tahlil qilish natijalarini qayd etishning yanada qulay, ixcham va ayni paytda juda vizual shakli bu vazifani sxematik qayd etishdir (vazifa modeli).
Geometrik masalalarni sxematik yozish uchun masalada ko'rib chiqilayotgan figuraning chizmasidan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Bunday chizmani qurishda bir qator talablarga rioya qilish kerak. Keling, asosiylarini ko'rsatamiz.

1. 
   Chizma muammoning asosiy ob'ektining sxematik chizmasi bo'lishi kerak (geometrik figura yoki raqamlar to'plami yoki ushbu raqamlarning ba'zi bir qismi), harflar va boshqa belgilardan foydalangan holda, rasmning barcha elementlarini belgilash bilan. ularning ba'zi xususiyatlari. Agar muammo matnida figuraning yoki uning elementlarining har qanday belgilari ko'rsatilgan bo'lsa, unda bu belgilar ham chizmada bo'lishi kerak; Agar muammoda hech qanday belgilar bo'lmasa, siz umumiy qabul qilingan belgilardan foydalanishingiz yoki eng qulaylarini topishingiz kerak.
   
2. 
   Ushbu chizma vazifaga mos kelishi kerak. Bu shuni anglatadiki, agar muammo asosiy ob'ekt sifatida trapesiyani nomlagan bo'lsa-da, lekin uning turini ko'rsatmasa, unda siz teng yonli yoki to'rtburchaklar trapesiya va hokazolarni qurmasligingiz kerak.
   
3. 
   Chizilgan rasmni qurishda biron bir aniq o'lchovga qat'iy rioya qilishning hojati yo'q. Biroq, raqamning alohida elementlarini qurishda ba'zi nisbatlarni saqlash tavsiya etiladi. Masalan, agar uchburchakning medianasi berilgan bo'lsa, unda chizmadagi mos keladigan segment taxminan uchburchak tomonining o'rtasidan o'tishi kerak va hokazo. Xuddi shu tarzda, chizmada parallellik, perpendikulyarlik va boshqalar kabi munosabatlarga rioya qilish kerak.
   
4. 
   Fazoviy figuralarning chizmalarini qurishda barcha chizish qoidalariga rioya qilish kerak. Mumkin va to'g'ri bo'lganda, bu raqamlarning bir nechta planar qismlarini qurish yaxshiroqdir.
   

Chizmadan tashqari, geometrik masalalarni sxematik qayd qilish uchun topshiriqning barcha shartlari va talablarining qisqacha yozuvi ham qo'llaniladi. Ushbu qisqacha yozuvda chizmada qabul qilingan belgilardan foydalangan holda, masalaning shartlarida ko'rsatilgan barcha xususiyatlar va munosabatlar qayd etilgan. Raqamlarning nomlarini yoki ularning alohida qismlarini ularning ta'riflari yozuvi bilan almashtirish tavsiya etiladi.