Chuvash respublika ta’lim instituti Kurs ishi trigonometriyadan yechishda foydalanish planimetrik muammolar

Vazifa 2. Teng yonli uchburchakda burchak ga teng . Radiusi 1 bo'lgan aylana tomonlarga va uchburchakka tegib, uning asosini va nuqtalarida kesib o'tadi (nuqta va orasida joylashgan ); - aylana va yon tomonning aloqa nuqtasi ; . Hududni hisoblang .
B erilgan: - teng yon tomonlar, , - radiusi 1, .
Toping: .
Yechim: Avvalo, siz aylana markazining joylashishini aniqlashga imkon beradigan hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz kerak; Hozircha bu markaz teng yon tomonlarning balandligida yotishi aniq , chunki tomonlar aylanaga tegib turadi va shuning uchun aylananing markazi bu tangenslar orasidagi burchak bissektrisasida yotadi .
Belgini kiritamiz: . Radiusni teginish nuqtasiga chizamiz , u holda u ham teng bo'ladi ( va o'zaro perpendikulyar tomonlari bo'lgan burchaklar). Shart bo'yicha . Formuladan foydalanib , biz olamiz ; Keyin .
Biz topamiz : ; . Keyinchalik,
; .
B u shuni anglatadiki , , va shuning uchun nuqtalar mos kelishi kerak , ya'ni. Muammoni yanada hal qilish uchun siz yangi (to'g'ri) rasm chizishingiz kerak.
Formuladan foydalanib, uchburchakning maydonini qidiramiz . Ma'lumki .
Shunday qilib, muammo segment uzunligini topishga qisqartirildi .
Keling, bundan foydalanaylik . Keling , qo'yamiz va tenglamani qaerdan olamiz . Keyin va shuning uchun
.
Javob: .


Vazifa 3. Uchburchak ichida olingan ixtiyoriy nuqtadan uning tomonlarigacha bo'lgan masofalar mos ravishda , va ga teng ekanligini bilib, burchaklari bo'lgan maydonni toping .
Berilgan: , .
Toping: .
Y echim: Maydonni formuladan foydalanib topish mumkin , lekin buning uchun va ni topishingiz kerak . Keling, qo'yaylik . Keyin sinuslar qonuni bilan
,
qaerdan topamiz: .
Shunday qilib, vazifa qiymatini topishga to'g'ri keladi .
mos yozuvlar elementi sifatida uchburchakning maydonini tanlang .
Bir tomondan,
.
Boshqa tomondan,

.
Shunday qilib, biz qaerdan topamiz:
.
Ushbu qiymatni maydoni uchun yuqoridagi formulalarning birinchisiga almashtirsak , biz quyidagilarni olamiz:
.
Javob: .


Izoh. Geometrik masalalarda tenglamalar tuzish uchun qanday asboblar yoki boshqacha aytganda, tenglamalar tuzish uchun qanday geometrik faktlar qo‘llaniladi? Keling, ushbu faktlarni sanab o'tamiz:
- Pifagor teoremasi;
- uchburchakning bissektrisasi haqidagi teorema;
- o'xshash uchburchaklardagi tomonlarning yoki boshqa chiziqli elementlarning mutanosibligi;
- to'g'ri burchakli uchburchakdagi metrik nisbatlar (tomonlar va burchaklar orasidagi trigonometrik nisbatlar ham kiradi), parallelogramm, doira;
- maydonlarni hisoblash uchun turli formulalar (birinchi navbatda uchburchaklar);
- sinuslar teoremasi, kosinuslar teoremasi.