Mühazirə kursu а з я р бай ж ан р е с публика

Skalyar və vektor fiziki kəmiyyətlər. Aydın məsələdir ki, təbiət qanunları elə formada yazılmalıdır ki, koordinat sisteminin seçilməsindən asılı olmasın. Seçdiyimiz koordinat sistemində nöqtənin vəziyyəti, koordinat oxları üzrə

proyeksiyası uyğun olaraq x, y, z-ə bərabər olan r^→ radius
vektoru ilə verilir. Beləliklə, r^→ radius vektoru özünün üç
proyeksiyası ilə tamamilə birqiymətli olaraq təyin edilə bilər. Bu məsələ, digər üç ədəd, r uzunluğu və iki  və  bucaqları ilə də həll edilə bilər. Bu sferik koordinat sistemi adlanır (şəkil 1.4).


Şəkil 1.4
20
Dekart koordinatları sferik koordinatlarla aşağıdakı ifadələrlə əlaqədardırlar:
z= rcos
x= rsin cos (1.1 )

y= rsin sin
→ → ^→

Koordinat oxları boyunca yönəlmiş i , j , k üç vahid
vektorları (vahid ortlar) daxil etsək, onda r^→ radius vektorunu
üç vektorun cəmi şəklində göstərmək olar:
_→ → → ^→ → → ^→
r =x i +y j +z k ,  i = j = k =1 (1.2) Bu, hələ məktəbdən bizə məlum olan vektorların paraleloqram qaydasına görə toplanması qanunundan alınır
(şəkil1 1.5).




Şəkil 1.5
r^→ vektorunu öz-özünə skalyar vurmaqla onun uzunluğunu

A

B
tapmaq olar. Məktəbdən bildiyimiz kimi iki ^→ və ^→
vektorunun skalyar hasili

A

B

A

B

A

B
^→  ^→ = ^→  ^→ cos ( ^{→  →} ) (1.3)
vektorların uzunluğu hasilinin, onlar arasındakı bucağın kosinusu hasilinə bərabərdir. Aydındır ki, əgər iki vektor bir- birinə perpendikulyardırsa onda, onların skalyar hasili sıfra
bərabərdir. r^→ radius vektorunun öz-özünə skalyar hasili
r^→  r^→ = r^→  r^→ cos ( r^{→ } r^→ ,)=r² (1.4) belə ki, cos ( r^{→ } r^→ ,)=1 (bucaq sıfıra bərabərdir). Digər tərəfdən

r
→ _ →
→ → ^→
→ → ^→
₂ → → ₂

k

r =(x i +y j +z k )(x i +y j +z k )=x

i  i +y

k

k

k

k
^→j  ^→j +z^{2 →}  ^→ +2xy i^→  ^→j +2xz i^→  ^→ +2yz ^→j  ^→ (1.5)

i^→ ,
^→j ,
^→ vektorlarının qarşılıqlı ortoqonallığına görə onların

skalyar hasili sıfra bərabərdir
→ → → ^→ → ^→
i  j = i  k = j  k =0 (1.6)
Yekunda bu nəticəyə gəlirik ki, vektorun uzunluğunun kvadratı onun proyeksiyalarının kvadratları cəminə bərabərdir:

r ²  x²  y ²  z ²
Anoloji şəkildə isbat edə bilərik ki,
(1.7)

A

B
^→  ^→ =A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z (1.8)
Buna asanlıqla nail olmaq üçün vektorların hər birini
^→ =A_x i^→ + A_y ^→j + A_z ^→ (1.9)

A
şəklində yazmaq (analoji olaraq
k

B
^→ vektoru üçün), sonra onları

bir-birinə skalyar vurmaq və (1.6) ifadəsindən istifadə etmək lazımdır.

A

B

vektorlarının vektorial hasili [ A , B ] aşağıdakı
→ _və → → →
→ → → →

A

B
kimi təyin edilir: 1) [ A , B ] vektoru A və B
vektorlarının

yerləşdiyi müstəviyə perpendikulyar olub,
→ _, →
→ → _]

və [ A , B
vektorları bir birinə nəzərən sağ koordinat sisteminin x, y, z oxlarının müsbət istiqamətində yönəlmişlər (şəkil 1.6);

2. 
   mütləq qiymətinə görə o vurulan vektorların mütləq qiymətləri ilə onlar arasındakı bucağın sinusu hasilinə
   

bərabərdir:
→ → →
→ _ →

 D  = A  B sin ( A B )
Göstərmək olar ki, vektorial hasilin mütləq qiyməti vurulan vektorlar üzərində qurulan paralleloqramın sahəsinə bərabərdir (şəkil 1.6).
22

Vektorial hasil aşağıdakı xassələrə də malikdir:
^{→ →} ^{→ →}

A, B

A, B
_→ → _
B, A ;

C

A, B
^→ ^→
→ ^{→ →}

A, C ;
^→  ^→  ^{→ →}

Şəkil 1.6
A, B
A, B

4. 
   Maddi nöqtənin hərəkətinin əsas kinematik xarakteristikaları. Hərəkət qanunlarının öyrənilməsinə ölçüləri nəzərə alınmayan cismin hərəkətinin öyrənilməsindən başlamaq təbiidir. Bu cür cisim maddi nöqtə adlanır. Maddi nöqtənin hesablama sisteminə nəzərən hərəkəti vektori və ya koordinat üsulları ilə verilə bilər. Vektori üsul zamanı t anında
   

A nöqtəsinin vəziyyəti k_→oordinat başlanğıcından hərəkət edən
nöqtəyə qədər çəkilmiş r radius vektoru ilə təyin edilir (şəkil

→ →
1.7). Hərəkət qanunu aşağıdakı vektori tənliklə verilir
r  r (t)

(1.10)

Koordinat üsulunda A nöqtəsinin vəziyyəti x, y, z koordinatları ilə təyin edilir, hərəkət qanunu isə üç tənliklə verilir:

Şəkil 1.7
x  xt;


y  yt;


z  zt;
(1.11)

bu zaman
_→ → → ^→

r  xi  yj  zk (1.12)
Öz hərəkəti zamanı nöqtənin cızdığı kəsilməz xətt trayektoriya adlanır. Şəkil 1.8-də nöqtənin trayektoriyası göstərilmişdir.
23

Şəkil 1.8
Trayektoriyanın formasından asılı olaraq düzxətli və əyrixətli hərəkətləri fərqləndirirlər. Nöqtənin keçdiyi trayektoriyanın uzunluğu yol adlanır. Fərz edək ki, kiçik
t zaman fasiləsində nöqtə S yolu qət edir. Ond_→a, t və t  t
anlarında nöqtənin vəziyyətlərini birləşdirən r vektoru t
zaman fasiləsində nöqtənin yerdəyişməsi adlanır. Şəkil 1.8-dən göründüyü kimi yerdəyişmə vektoru

1

2
kimi təyin edilir.
r^→  r^→
 r^→

(1.13)

5. 
   Törəmənin və inteqralın mənası. Törəmə anlayışından mexanikada və fizika kursunun bütün digər bölmələrində geniş istifadə edilir. İxtiyari hərəktdə sürətin təyin edilməsi məsələsi Nyutonu differensial və inteqral hesablamanın əsasını qoymuş Q.Leybnislə birlikdə bu anlayışa
   

gətirib çıxarmışdır. Törəmə üçün
^dx işarələməsi Leybnisə
dt

məxsusdur. Riyaziyyatda
^dx simvoluna iki “sonsuz kiçik” dx
dt

və dt artımlarının nisbəti kimi deyil, bütöv vahid kimi baxmaq


lazımdır. x^{ dx} törəməsinin mənası
x^  ^dx  lim ^x
ifadəsi

dt
ilə dəqiq təyin edilir.
_dt t 0 _t

Yuxarıda dediklərimizdən aydın oldu ki, fiziki kəmiyyət konkret ölçmələrin nəticəsində alınır. Bütün bu ölçmələr isə hadisənin təbii gedişini təhrif edən xətalarla müşayət olunur.
24

Bu vəziyyət ciddi desək, riyaziyyatda törəmənin təyini zamanı

daxil edilən
t  0, x  0
limit keçidini imkansız edir.

Məsələn, fərz edək ki, güllənin havada hərəkət sürəti təyin
edilir. Məsələ x məsafəsinin ölçülməsinə və güllənin bu
məsafəni keçmək üçün sərf etdiyi t zaman fasiləsinin
ölçülməsinə gətirilir. Əgər t müddətini çox böyük götürsək,
onda bü müddətdə güllənin sürəti havanın müqaviməti ilə
əlaqədar olaraq əhəmiyyətli dərəcədə azala bilər. Bu halda ^x
t
nisbəti baxılan zaman anında güllənin sürətindən əhəmiyyətli
dərəcədə kiçik olacaq. t müddətini kiçiltsək görərik ki, hər
ölçmədə müşayiət olunan təsadüfi xətalardan uzaqlaşsaq da,

müəyyən andan başlayaraq ^x
t
nisbəti yol verilən dəqiqlik

intervalında dəyişir. t müddətinin sonrakı azalması
mənasızdır. O vəziyyəti pisləşdirə bilər. Belə ki, t müddətinin

sonrakı azalması zamanı ^x
t
nisbəti yenidən daha çox və daha

qeyri müntəzəm dəyişməyə başlayacaq. O, çox böyükdən tutmuş, çox kiçiklərə qədər müxtəlif qiymətlər ola bilər. Bu onunla əlaqədardır ki, ölçülən kəmiyyət nə qədər kiçikdirsə istənilən ölçmənin dəqiqliyi o qədər azdır. Məsələn, 1 m uzunluğu 1 mm-ə qədər xəta ilə, yəni 1/1000 nisbi dəqiqliklə ölçmək çətin deyil. Lakin həmin dəqiqliklə 1 mm uzunluğu
ölçmək böyük zəhmət tələb edir. t müddəti nə qədər

kiçikdirsə ^x
t
nisbətinin hesablanma xətası o qədər böyükdür.

Əgər
t -ni sonsuz kiçiltsək, ^x
t
nisbəti hər hansı müəyyən

həddə yaxınlaşmayacaqdır. Bu da göstərir ki, ölçmə xətası

ucbatından
t  0
keçidi ciddi riyazi mənada həyata keçirilə

bilməz. Sürətin və ya   x^ törəməsinin həqiqi qiymətinin
fiziki ölçmələrdən hesablanması, yalnız təqribən, onu sonlu

^x artımının ifadəsi ilə eyniləşdirərək mümkündür. Sürətin
t
həqiqi qiymətinin hesablanma dəqiqliyinin maksimal olduğu
t müddətinin optimal qiyməti konkret şəraitdən təyin edilir.
x^ törəməsinin kifayət edəcək dəqiqliklə təyin edildiyi kiçik,
yalnız sonlu x və t artımlarını fizikada sonsuz kiçik və ya
daha dəqiq desək fiziki sonsuz kiçik kəmiyyətlər adlandırırlar. Fizikada onları dx və dt ilə işarə edərək onlarla riyazi differensial kimi rəftar edirlər. Beləliklə, fizikada törəmə bu nisbətlərin limiti kimi deyil, funksiya və arqumentin sonlu, yalnız kifayət qədər kiçik artımlarının nisbəti kimi təyin edilir.
Bu məsələ yalnız ölçmə xətası ilə deyil, fiziki kəmiyyətlərin və fizika qanunlarının öz təbiəti ilə əlaqədar olaraq prinsipial xarakter də daşıya bilər. Belə ki, limit keçidi qeyri müəyyənlik prinsipi ilə əlaqədar olaraq da mümkünsüzdür. Doğrudan da

əgər
t sıfra yaxınlaşsaydı onda keçilən
x məsafəsi də sıfra

yaxınlaşardı və ^x
t
ifadəsi öz mənasını itirərdi. Beləliklə,

t  0 olduqda kordinatın qeyri müəyyənliyi də sıfra
yaxınlaşardı. Onda qeyri müəyyənlik prinsipinə görə sürətin qeyri müəyyənliyi sonsuzluğa yaxınlaşardı. Bu da o deməkdir ki, sürətin hesablanması zamanı yaranan xəta sürətin öz qiyməti ilə müqayisədə çox böyükdür.
Bu nəticə yalnız koordinatın törəməsinə deyil, ixtiyari fiziki kəmiyyətin törəməsinə də aiddir.
İnteqral anlayışı ilə də məsələ tamamilə bu cürdür.
Riyaziyyatda inteqral aşağıdakı limit keçidi ilə təyin edilir:
b

_ f (x)dx 
a
lim
x_i 0
_ f (x_i )x_i

(a, b) ədədi aralığı n məxsusi
x₁ , x₂ ,
...
x_n
aralığa

bölünür. Onlardan hər birnin
x_i uzunluğu, baxılan məxsusi

aralığın daxilində yerləşən, ixtiyari nöqtədə f(x) funksiyasının

26

qiymətinə vurulur. Sonra _ ^{f (x}_i ^)x_i
cəmi tərtib edilir və

n   limitinə keçid yerinə yetirilir və fərz edilir ki, məxsusi aralıqların hər birinin uzunluğu sıfıra yaxınlaşır. Lakin, fizikada ölçmənin xətası ucbatından və ya prinsipial təsəvvürlərə görə (məsələn, maddənin atomar quruluşuna görə) (a, b) aralığının müəyyyən uzunluqdan kiçik (qiyməti konkret şəraitdən asılı olan) məxsusi aralıqlara bölünməsi mənasını

itirir. Buna görə də
x_i  0
limit keçidi axıra qədər yerinə

yetirilə bilməz və haradasa qırılmalıdır. Bu onu göstərir ki,