Mélyfúrási geofizika Balázs László

A terjedési időt is korrigálni kell vezetési veszteség nélküli terjedésre, hogy pl. a CRIM vagy más kőzetfizikai
összefüggés alkalmazható legyen:
(7.15.)
.
A gyakran alkalmazott un. t
po
módszer esetében, közvetlenül a korrigált terjedési időből számítanak látszólagos
porozitást:
(7.16.)
.
A víz esetében erősebb hőmérsékletfüggés tapasztalható, az erre vonatkozó közelítő összefüggés:
(7.17.)
.
A (T) hőmérséklet Farenheit fokban helyettesítendő (Schlumberger).
A dielektromos állandón alapuló porozitásmérés egy egészen másfajta leképezése a pórustérnek, mint a többi
porozitásmérés, szénhidrogén tartalomra gyakorlatilag érzéketlen. Ezért érdemes összevetni a más típusú (sűrűség,
neutronmérés) eredményekkel, a maradék szénhidrogén telítettség feltárására.
59
Dielektromos állandó mérés
XML to PDF by RenderX XEP XSL-FO F ormatter, visit us at 
http://www.renderx.com/

---

8. fejezet - Transzportelméleti
összefoglaló radioaktív mérésekhez
Természetes illetve mesterséges gamma és neutronforrások körül kialakuló részecske teret is felhasználhatjuk a
kőzetjellemzők meghatározására, mivel a teret kialakító kölcsönhatások valószínűsége függ a kőzetösszetételtől.
A vizsgálandó részecsketeret un. fázistérként írjuk le, ebben a rendszerben a tér és időkoordináták mellett megjelenik
a részecskék mozgásának irányszöge és energiája is, mint további koordináták. A teret vagy a részecske
sűrűséggel
, vagy még inkább, a részecskék reakciókészségét jobban kifejező részecske fluxussal
jellemezzük, amely a részecske sűrűség és sebesség szorzata:
(8.1.)
.
A fluxust értelmezhetjük úgyis, mint egy adott normálissal jellemzett egységnyi felületen, egységnyi idő alatt
átáramló, adott irányban mozgó részecskék száma.
A fenti két mennyiségre mérlegegyenletet írhatunk fel a fázistér egy elemi térfogatára (
), így jutunk el a
transzport-egyenlethez, amely a radioaktív geofizikai mérések direktfeladatának alapegyenlete, mind a gamma-
mind a neutronmérések esetében.
Az egyenlet felállításánál figyelembe kell venni minden olyan tényezőt, amely a fázistér differenciális
térfogatelemében a fluxus értékét megváltoztathatja, a részecske ki és belépést, a helyi forrás és abszorpció hatását.
(A probléma részletes tárgyalása - Szatmáry 2000)
A vizsgált tér forrása lehet természetes radioaktív izotópok vagy a mérés során felaktivált izotópok sugárzása, de
lehet a szondatestben elhelyezett sugárforrás is.
Csökkentik a fluxus értékét a mérlegegyenletben a különböző reakciók: a különféle szórási és abszorpciós
folyamatok. Növeli viszont és így a források között kell figyelembe venni egy másik fázistérfogatból beszóródó
részecskéket.
A kőzetek egységnyi térfogatára a kölcsönhatások valószínűségét az un. makroszkopikus hatáskeresztmetszetek
(Σ) fejezik ki külön-külön valamennyi kölcsönhatástípusra. A hatáskeresztmetszetet a kőzetösszetevőkre vonatkozóan
additívnak vehetjük:
(8.2.)
.
Az reakciósebességet, azaz az időegység alatt bekövetkező reakciók számát (R) a fluxussal fejezhetjük ki szintén
térfogategységre vonatkoztatva:
(8.3.)
.
Írjuk fel ezek után a részecskesűrűség dt idő alatti megváltozását:
(8.4.)
,
ahol
Σ
t
: a makroszkopikus totális hatáskeresztmetszet,
Q : a térfogatban elhelyezkedő források.
60
XML to PDF by RenderX XEP XSL-FO F ormatter, visit us at 
http://www.renderx.com/

---

A dt→0 átmenettel differenciálegyenlethez jutunk. Az átmenet képzésénél fontos, a részecskesűrűség
helykoordinátájának időfüggését is figyelembe venni (szubsztanciális időderivált). Az ebből származó tag a
fáziscellából történő kifolyás, amely a fluxus térbeli inhomogenitásai esetén okoz járulékot (így csökkenést leíró
tagként átvihető az egyenlet másik oldalára).
(8.5.)
.
Átírva az egyenletet tisztán fluxusra:
(8.6.)
.
A Q forrástag geofizikai problémáknál szórásból eredő és külső forrásra osztható:
(8.7.)
Így egy függvényegyütthatós parciális integro-differenciálegyenlethez jutunk, melynek megoldása csak numerikus
módszerekkel vagy különböző közelítésekben lehetséges. A megoldást különösen nehezíti az együtthatók
(hatáskeresztmetszetek) bonyolult energiafüggése, különösen igaz ez neutronfizikai problémák esetében.
8.1. P1 és Diffúziós közelítés
A részecsketér a szórási kölcsönhatásoknak köszönhetően, a forrástól vagy nagyobb anyagi inhomogenitásoktól
távol kevéssé mutat anizotrópiát, azaz a fluxus kevéssé térszög függő. Ez lehetőséget biztosít a szögváltozótól való
megszabadulásra, a transzport egyenlet egyszerűsítésére.
A probléma megoldásához a transzport egyenletben szereplő mennyiségeket felbontjuk egy térszögtől függő és
attól független tag szorzatára (pl. gömbfüggvények szerinti sorfejtés).
Ez egy kiválasztott fizikai mennyiségre
(8.8.)
,
ahol a sorfejtés együtthatói:
(8.9.)
.
A kis szögszerinti anizotrópia miatt megállhatunk a sorfejtés első rendű tagjánál (un. P1-közelítés). Például a fluxus
sorfejtéses közelítése:
(8.10.)
,
ahol:
(8.11.)
a fluxus szögszerinti átlaga,
61
Transzportelméleti összefoglaló radioaktív mérésekhez
XML to PDF by RenderX XEP XSL-FO F ormatter, visit us at 
http://www.renderx.com/

---

(8.12.)
az áramsűrűség nettó értéke.
Hasonlóan a szórási hatáskeresztmetszet:
(8.13.)
,
végül a forrástag:
(8.14.)
.
A diffúziós közelítésnél még az elsőrendű tagot is elhanyagoljuk. A szögváltozó eltűntetése érdekében integráljuk
most a transzport egyenletet Ω szerint:
(8.15.)
.
A fenti kifejezésben az argumentumok jelzik, hogy az adott mennyiség kiintegrált változójáról van szó. Az
kiintegrálásakor az integrálás és differenciálás sorrendjét felcseréltük. Gondot jelent továbbra is a részecske
áramsűrűség (J) vektor jelenléte. Használjuk fel a diffúzióra vonatkozó Fick-törvényt:
(8.16.)
.
ahol :
az energiafüggő diffúzióállandó,
és
az un. transzport szabad úthossz, melyet a totális és szórási hatáskeresztmetszettel és
a szórási szög átlagával fejezhetünk ki. Ezek felhasználásával a kizárólag térszög független fluxust tartalmazó
diffúzió egyenlet:
(8.17.)
.
8.2. Diffúziós egyenlet megoldásai
A megoldásnál a legnagyobb problémát az együtthatók energiafüggése jelenti. Ezt leggyakrabban úgy kezelik,
hogy ekvivalens konstans értékkel helyettesítik. Hogy a közelítés pontosabb legyen, a probléma szempontjából
lényeges energia intervallumot több részre osztják (energia csoportok) és mindegyikre külön meghatározzák az
együtthatókat. Ezzel a közelítéssel állandó együtthatós differenciálegyenlet-rendszerhez jutunk.
Feltételezhetjük, hogy a fluxus energia függése szeparálható a tér és időfüggéstől. Így a diffúzió egyenletben
szereplő fluxus felírható:
.
Ekkor a diffúzió egyenlet E szerinti integrálás után az ekvivalens értékek (D,Σ) bevezetésével:
(8.18.)
.
62
Transzportelméleti összefoglaló radioaktív mérésekhez
XML to PDF by RenderX XEP XSL-FO F ormatter, visit us at 
http://www.renderx.com/

---