Mélyfúrási geofizika Balázs László

Helyezzük a forrást koordinátarendszer kezdőpontjába. A momentum terét hengerkoordináta rendszer P(r,z)
pontjában vizsgáljuk melynek távolsága a forrás dipóltól R
1
:
(6.2.)
.
Ennek a kőzetgyűrűben végbemenő indukció szempontjából lényeges z-koordintája a kétszeres gradiens képzés
után:
(6.3.)
.
A dr és dz szélességű kőzetgyűrű által közre fogott területre kell számolni a mágneses fluxust, melynek megváltozása
a kőzetgyűrűben feszültséget (dϵ) indukál:
(6.4.)
.
Az integrálás részleteit átugorva:
(6.5.)
.
Ha a kőzetgyűrű fajlagos vezetőképessége σ, akkor az indukált feszültség hatására folyó áram:
(6.6.)
.
A vevőtekercsnél mérhető mágneses indukció kiszámításához használjuk a Biot-Savart törvény. A tekercs legyen
ismét pontszerű és távolsága a kőzetgyűrű tetszőleges pontjától R
2
.
Mivel adott áramkontúrra:
(6.7.)
.
47
Indukciós mérések
XML to PDF by RenderX XEP XSL-FO F ormatter, visit us at 
http://www.renderx.com/

---

6.2. ábra. Biot-Savart törvény alkalmazása az indukciós direktfeladat közelítő megoldásánál
Kihasználva R
2
és ds merőlegességét, és csak a z komponens előállítva:
(6.8.)
.
Újabb indukció után a vevő tekercsben keletkező feszültség fázisa 180°-ban tér el az adó áramához képest.
(6.9.)
.
Látható, hogy azonos tekercsek esetén a kapott formula szimmetrikus, az adó és vevő felcserélhető. A teljes
feszültséget a teljes kőzetre való integrálként kapjuk meg:
(6.10.)
.
Bebizonyítható, hogy a tisztán tekercselrendezéstől függő integrál:
(6.11.)
.
Ezt felhasználják a szondaállandó (K) definíciójánál, mivel homogén térben:
(6.12.)
.
48
Indukciós mérések
XML to PDF by RenderX XEP XSL-FO F ormatter, visit us at 
http://www.renderx.com/

---

Ahogy az várható volt, a fent ismertetett egyenáramú közelítésben, mikor az egyes kőzetgyűrűk kölcsönös indukcióját
elhanyagoljuk, egy súlyfüggvény (g(r,z)) rendelhető minden (dr,dz) gyűrűhöz, amely megmutatja, hogy az
eredményben milyen súllyal lesz jelen az ottani fajlagos vezetőképesség.
(6.13.)
.
A g függvény az un. elemi geometriai tényező. Tetszőleges tértartományra integrálva a tértartomány geometriai
faktorát kapjuk. Ez a közelítés fontos szerepet kapott a kezdeti indukciósszonda tervezésnél. A g függvény radiális
vagy vertikális kiintegrálásával jutunk a szonda vertikális Z(z) és radiális R(r) karakterisztikájához,
tértartományonkénti érzékenységéhez.
(6.14a.)
,
(6.14b.)
.
Megjegyezzük, hogy a vertikális karakterisztika, lehetőséget ad az eredmények dekonvolúciójára és így a vertikális
felbontás javítására. Az egyenáramú eszközökkel ellentétben a geometriai faktor bevezetése vezetőképesség alapján
történt, ezzel is jelezve, hogy a hengerszimmetrikus körkörös indukált áramtér kvázi párhuzamosan kapcsolja az
egyes radiális tartományokat. A tér jellegéből következően még olajbázisú iszapok esetén is használható módszer.
6.3. ábra. Egy adó-vevő tekercspár radiális és vertikális karakterisztikája
6.1.2. Direktfeladat megoldás a Maxwell egyenletek
alapján
Vezessük be a vektor potenciált a következő módon (Kaufmann 1989), felhasználva, hogy nincsenek szabad
töltések:
49
Indukciós mérések
XML to PDF by RenderX XEP XSL-FO F ormatter, visit us at 
http://www.renderx.com/

---

(6.15.)
.
Ekkor a mágnese térerősség (H) a Maxwell egyenletekből következően:
(6.16.)
.
A vektorpotenciál és H közötti kapcsolat egy skalár potenciál gradienséig meghatározott.
Az elektromos térerősség rotációjára vonatkozó Maxwell egyenletbe beírva a vektorpotenciált:
(6.17.)
.
Némi átalakítás után és a harmonikus időfüggés figyelembe vételével:
(6.18.)
.
Ha a következő megszorítást (mértéket) alkalmazzuk:
(6.19.)
,
akkor A vektor potenciálra vonatkozó Helmholtz egyenlethez jutunk.
(6.20.)
A vektorpotenciált úgy vezettük be, hogy csak z-komponense van (6.15.). Így a fenti vektor egyenlet skalár
egyenletre is átírható. Ennek alapmegoldása (Green-függvénye):
(6.21.)
.
A mértékegyenlet (6.19.) szerint ebből a skalárpotenciál:
(6.22.)
.
A konstans megkapható az zérus frekvencián kapott értékekből, ahol az egyenletek a magnetosztatikából ismert
megoldást adják. Így:
(6.23.)
.
A vevő tekercsnél, mérhető elektromos jel származtatásához az indukció törvényt szeretnénk alkalmazni, ezért az
indukció vektor z-komponensére van szükségünk. A mágneses térerő kifejezéséhez szükség van a skalárpotenciál
gradiensére is. Állítsuk elő gömbi koordinátarendszerben:
(6.24)
.
A térerősség radiális komponense:
50
Indukciós mérések
XML to PDF by RenderX XEP XSL-FO F ormatter, visit us at 
http://www.renderx.com/

---

(6.25.)
.
Ebből a z tengelyen L távolságra elhelyezkedő tekercsben indukált feszültség H z-irányú vetületével:
(6.26.)
.
Vezessük be az un. szkin-mélységet, amely frekvencia és vezetőképesség függvényében jellemzi az elektromágneses
tér lecsengését:
(6.27.)
.
A k hullámszámre kis frekvenciákon, ahol az eltolási áramokat elhanyagolhatjuk:
(6.28.)
.
Fejtsük sorba az exponenciális tagot 6.26-ban:
(6.29.)
.
Bevezetve a K
z
műszerállandót:
(6.30.)
.
Így a tekercsben indukált feszültség:
(6.31.)
.
Helyettesítsük a szkin-mélységet a formulába
(6.32.)
,
(6.33.)
.
A mérhető feszültség reális és képzetes részének közelítő alakjai:
(6.34a.)
,
51
Indukciós mérések
XML to PDF by RenderX XEP XSL-FO F ormatter, visit us at 
http://www.renderx.com/

---