Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari sonli qatorlar va ularning yaqinlashuvi

§2. MUSBAT HADLI SONLI QATORLAR VA
ULARNING YAQINLASHISH ALOMATLARI

• 
  
  Sonli qator yaqinlashuvining taqqoslash alomatlari.
  
• 
  
  Dalamber alomati.
  
• 
  
  Koshi alomati.
  
• 
  
  Integral alomati.
  
• 
  
  Umumlashgan garmonik qatorlar.
  

1. 
   
   Sonli qator yaqinlashuvining taqqoslash alomatlari. Oldingi paragrafda har qanday sonli qator yaqinlashuvining zaruriy sharti topilib, u yetarli shart bo‘la olmasligi ko‘rsatilgan edi. Bu yerda musbat hadli sonli qatorlar uchun ularning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini ifodalovchi yetarli shartlarni topish masalasi bilan shug‘ullanamiz.
   

1-TA’RIF: Agar sonli qatorning barcha hadlari musbat (u_n>0 , n=1,2,3, ∙∙∙) bo‘lsa, u musbat hadli sonli qator deb ataladi.
Masalan, umumiy hadlari

ko‘rinishda bo‘lgan sonli qatorlar musbat hadlidir.

1-TEOREMA (Taqqoslash alomati): Berilgan (1) va (2) musbat hadli sonli qatorlar bo‘lib, ularning hadlari и_n≤v_n (n=1,2,3, ∙∙∙) shartni qanoatlantirsin. Bu holda quyidagi tasdiqlar o‘rinli :
I. Agar (2) sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda (1) sonli qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bundan tashqari (1) va (2) sonli qatorlarning yig‘indisi mos ravishda S(u) va S(v) bo‘lsa, unda S(u)≤S(v) tengsizlik o‘rinli bo‘ladi ;
II. Agar (1) sonli qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda (2) sonli qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Isbot: I. (1) va (2) sonli qatorlarning n- xususiy yig‘indisini mos ravishda S_n(u) va S_n(v) deb belgilaymiz. Musbat hadli sonli qatorlarning n-xususiy yig‘indilari S_n (n=1,2,3, ∙∙∙) monoton o‘suvchi ketma-ketlikni tashkil etadi. Haqiqatan ham, и_n+1>0 bo‘lgani uchun S_n+1= S_n+ и_n+1> S_n . Shu sababli musbat hadli sonli qator yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatish uchun uning S_n (n=1,2,3, ∙∙∙) xususiy yig‘indilari ketma-ketligi yuqoridan chegaralangan bo‘lishini ko‘rsatish kifoya, chunki bu holda (VI bob, §2, 2-teoremaga qarang) limit mavjud va chekli bo‘ladi. Bizning holda, teorema shartiga asosan, mavjud bo‘lgani uchun S_n(v) (n=1,2,3, ∙∙∙) yuqoridan chegaralangan. Unda , S_n(u) ≤ S_n(v) bo‘lgani uchun, S_n(u) (n=1,2,3, ∙∙∙) monoton o‘suvchi sonli ketma-ketlik ham yuqoridan chegaralangan va shu sababli mavjuddir. Bundan tashqari ushbu tengsizlik ham o‘rinli bo‘ladi:
.
II. (2) sonli qator yaqinlashuvchi deb faraz qilamiz. Bu holda, teoremaning I qismiga asosan, (1) sonli qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu esa teorema shartiga zid. Demak, farazimiz noto‘g‘ri va (2) qator uzoqlashuvchidir.
Teorema to‘liq isbotlandi.
Misol sifatida umumiy hadi u_n=1/(n+3ⁿ) bo‘lgan musbat hadli sonli qatorni qaraymiz. Bunda

bo‘lgani uchun berilgan sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi 1/2 sonidan katta bo‘lmaydi.

Izoh: Oldingi paragrafdagi 1-teoremaga asosan qatorni chekli sondagi hadlarini tashlab yuborish uning yaqinlashuvchiligiga ta’sir etmaydi. Shu sababli (1) qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun taqqoslash alomatidagi и_n≤v_n tengsizlik barcha n=1,2,3, ∙∙∙ uchun bajarilishi shart bo‘lmasdan, biror N sonidan boshlab, ya’ni n≥N bo‘lganda bajarilishi kifoyadir. Ammo bunda S(u)≤S(v) tengsizlik bajarilmasligi mumkin.
Masalan,

sonli qatorni qaraymiz. Uning umumiy hadi

n≥4 bo‘lganda musbat bo‘ladi va shu sababli bu qatorning dastlabki uchta hadini tashlab yuborib, musbat hadli sonli qatorga ega bo‘lamiz. Bundan tashqari n>10 bo‘lganda u_n>2/n=v_n bo‘ladi. Haqiqatan ham, n>4 deb olsak, unda
.
Bunda v_n=2/n garmonik qatorni ikkiga ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan uzoqlashuvchi qatorning umumiy hadini ifodalaydi. Demak, taqqoslash alomatining II qismiga asosan, qaralayotgan qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
2-TEOREMA (Limitik taqqoslash alomati): Agar (1) va (2) musbat hadli sonli qatorlar bo‘lib, ularning umumiy hadlarining nisbati chekli limitga ega bo‘lsa, unda (1) va (2) sonli qatorlar bir paytda yoki yaqinlashuvchi, yoki uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Isbot: Sonli ketma-ketlik limiti ta’rifiga asosan (VII bob, §2, 4-ta’rifga qarang) har qanday ε>0 soni uchun (biz ε<A deb olamiz) shunday N soni topiladiki, barcha n>N uchun
.
Bu yerdan ko‘rinadiki, agar (2) sonli qator yaqinlashuvchi, ya’ni bo‘lsa, unda, taqqoslash teoremasi va yuqoridagi izohga asosan,
,
ya’ni (1) sonli qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Xuddi shunday, agar (1) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda
,
ya’ni (2) sonli qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Teoremadagi (1) va (2) sonli qatorlardan birining uzoqlashuvchi ekanligidan ikkinchisining uzoqlashuvchi ekanligini kelib chiqishi haqidagi tasdiq ham xuddi shunday tarzda isbotlanadi va o‘quvchiga mustaqil ish sifatida havola qilinadi.
Masalan,

sonli qatorlarni qaraymiz. Ularning ikkinchisi maxraji 1/3=q<1 bo‘lgan geometrik progressiya hadlaridan tuzilganligi uchun yaqinlashuvchi qator bo‘ladi. Ammo

bo‘lgani uchun, limitik taqqoslash alomatiga asosan, bu qatorlarning birinchisi ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Taqqoslash alomatlarida berilgan musbat hadli (1) sonli qatorning yaqinlashuvchi ekanligini tekshirish maqsadida hadlari и_n≤v_n (n≥N) tengsizlikni qanoatlantiradigan boshqa bir musbat hadli (2) sonli qator qaraladi. Bunda (2) qator (1) qator uchun majoranta qator deb ataladi.

2.