Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari sonli qatorlar va ularning yaqinlashuvi

Sonli qator xossalari. Endi sonli qatorlarning ayrim xossalarini ko‘rib chiqamiz.


1-TEOREMA: Agar bеrilgan (1) sonli qatorning chekli sondagi hadlarini tashlab yuborish bilan hosil qilingan sonli qator yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo‘lsa, unda (1) sonli qatorning o‘zi ham yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo‘ladi. Aksincha, agar bеrilgan sonli qator yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo‘lsa, uning bir nechta hadlarini tashlash bilan hosil qilingan sonli qator ham yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo‘ladi.
Isbot: Berilgan (1) sonli qatorning tashlab yuborilgan hadlari

bo‘lsin. Bu holda n>k_m bo‘lganda (1) sonli qatorning n-xususiy yig‘indisini

S_n= S_n(m)+S(m) (5)
ko‘rinishda yozish mumkin. Bu yerda S_n(m)=S_n–S(m) bo‘lib, u (1) sonli qatorning yuqorida ko‘rsatilgan m hadini tashlab yuborishdan hosil bo‘lgan sonli qatorning xususiy yig‘indisini ifodalaydi. (5) tenglik va limit xossasiga asosan S_n va S_n(m) xususiy yig‘indilar limiti bir-biridan o‘zgarmas S(m) soniga farq qiladi. Demak, S_n va S_n(m) xususiy yig‘indilarning limitlari bir paytda yoki chekli (bunda ikkala qator yaqinlashuvchi), yoki cheksiz yoki mavjud emas (bunda ikkala qator uzoqlashuvchi) bo‘ladi. Teorema isbot bo‘ldi.
Bu teoremadan sonli qatorning chekli sondagi hadlarini tashlab yuborish yoki unga chekli sondagi yangi hadlarni birlashtirish uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchiligiga ta’sir etmasligi kelib chiqadi.
2-TEOREMA: Agar (1) sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S bo‘lsa, unda bu qatorning barcha hadlarini biror C o‘zgarmas songa ko‘paytirishdan hosil qilingan
Cu₁+ Cu₂+ ∙ ∙ ∙ + Cu_n + ∙ ∙ ∙ = (6)
sonli qator ham yaqinlashi va uning yig‘indisi C∙S bo‘ladi.
Isbot: Agar (1) sonli qatorning n- xususiy yig‘indisi S_n bo‘lsa, (6) sonli qatorning n- xususiy yig‘indisi C∙S_n bo‘ladi. Bu yerdan, limit xossasiga asosan,

ekanligi kelib chiqadi.

Demak, yaqinlashuvchi sonli qator uchun C o‘zgarmas ko‘paytuvchini qator belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.
4-TA’RIF: Berilgan sonli qatorlarning algebraik yig‘indisi deb ularning mos hadlarining algebraik yig‘indilaridan hosil etilgan sonli qatorga aytiladi.
Demak, ta’rifga asosan
.
3-TEOREMA: Agar sonli qatorlar yaqinlashuvchi va yig‘indilari mos ravishda S(u) va S(v) bo‘lsa, u holdа ularning algebraik yig‘indisi bo‘lmish sonli qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va uning yig‘indisi S(u±v)=S(u) S(v) tеnglikdan topilishi mumkin.
Isbot: S_n(u), S_n (v) vа S_n(u±v) orqali mos ravishda (7), (8) va (9) sonli qatorlarning n- xususiy yig‘indilarini belgilaymiz . Undа S_n(u±v)= S_n(u)± S_n(v) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerdan, limit xossasi va sonli qator yig‘indisi ta’rifiga asosan, teorema tasdig‘idagi tenglikka ega bo‘lamiz:

.
Shuni ta’kidlab o‘tish lozimki, bu teorema tasdig‘iga teskari tasdiq har doim ham o‘rinli bo‘lmaydi. Masalan, (7) qatorda u_n=1+0.5ⁿ va (8) qatorda v_n=1–0.5ⁿ deb olamiz. Bunda hadlari u_n– v_n=2∙ 0.5ⁿ bo‘lgan (9) qator yaqinlashuvchi va yig‘indisi S(u–v)=2, chunki uning hadlari maxraji q=0.5 va birinchi hadi b=1 bo‘lgan geometrik progressiyani tashkil etadi (yuqoridagi (4) misolga qarang). Ammo biz ko‘rayotgan holda (7) va (8) qatorlarning ikkalasi ham uzoqlashuvchi bo‘ladi. Haqiqatan ham bu holda

2.