Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari sonli qatorlar va ularning yaqinlashuvi

Yaqinlashish radiusi uchun Koshi formulasi. Darajali qatorning yaqinlashish radiusini aniqlash uchun yana bir formulani keltiramiz.


4-TEOREMA (Koshi formulasi): Agar (6) darajali qator uchun

limit mavjud bo‘lsa, unda bu qatorning yaqinlashish radiusi

(12)
Koshi formulasi bilan topilishi mumkin.
Bu teorema ham oldingi teorema singari isbotlanadi va shu sababli uning ustida to‘xtalib o‘tirmaymiz.
(12) formula yordamida

darajali qatorning yaqinlashish radiusini topamiz:

.
Demak R=2 va darajali qatorning yaqinlashish oralig‘i (–2, 2) bo‘ladi. Bu qator x=±2 chegaraviy nuqtalarda uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatish qiyin emas va buni o‘quvchiga mustaqil ish sifatida qoldiramiz.
(12) formula tatbig‘iga yana bir misol sifatida

darajali qatorni qaraymiz:

.
Demak, bu darajali qator faqat x=0 nuqtada yaqinlashuvchi.

5. 
   
   Darajali qator xossalari. (6) darajali qator hadlari u_n(x)=a_nxⁿ ko‘rinishdagi eng sodda, ya’ni natural ko‘rsatkichli darajali funksiyalardan, S_n(x) xususiy yig‘indilari esa n-darajali ko‘phadlar ko‘rinishidagi nisbatan sodda funksiyalardan iborat funksional qatordir. Shu sababli darajali qatorlar, boshqa funksional qatorlardan farqli ravishda, ko‘phadlarga xos bir qator xossalarga ega bo‘ladi. Bu xossalarni quyidagi teoremalar ko‘rinishida isbotsiz keltiramiz.
   

5-TEOREMA: Agar darajali qatorning yaqinlashish oralig‘i ( – R , R) bo‘lsa, uning yig‘indisini ifodalovchi S(x) funksiya ( – R , R) oraliq ichida joylashgan har qanday [a, b] kesmada uzluksiz bo‘ladi .
Masalan, geometrik progressiya yordamida
(13)
darajali qatorning yaqinlashish oralig‘i (–1, 1) va yig‘indisi S(x)=1/(1+x) funksiyadan iborat ekanligini ko‘rsatish mumkin va buni o‘quvchiga mustaqil ish sifatida qoldiramiz. Bu funksiya (–1, 1) oraliqda uzluksizligi ravshandir.
6-TEOREMA: Darajali qatorni uning ( – R , R) yaqinlashish oralig‘i ichida joylashgan har qanday [a, b] kesma bo‘yicha hadlab integrallash mumkin, ya’ni

. (14)
Masalan, (13) darajali qatorni kesma bo‘yicha hadlab integrallab,

,
natijani olamiz. Oxirgi tenglikda t o‘zgaruvchini x bilan almashtirib, yangi
(15)
darajali qatorga ega bo‘lamiz. Bunda x=–1 holda uzoqlashuvchi garmonik qator, x=1 holda esa Leybnits alomati shartlarini qanoatlantiruvchi va shu sababli yaqinlashuvchi bo‘lgan ishorasi navbatlanuvchi sonli qator hosil bo‘ladi. Demak, (15) darajali qatorning yaqinlashish sohasi ( –1, 1] bo‘lib, undan x=1 holda
(16)
tenglikni olamiz.
7-TEOREMA: Yaqinlashish oralig‘i ( – R , R) bo‘lgan darajali qatorni hadlab differensiallash mumkin va bunda hosil bo‘ladigan darajali qatorning yaqinlashish sohasi yana ( – R , R) oraliqdan iborat bo‘ladi, ya’ni
(17)
. (18)
Masalan, (13) darajali qatorni hadlab differensiallab va hosil bo‘lgan tenglikni (–1) soniga ko‘paytirib, ushbu darajali qatorga kelamiz:
.
(18) darajali qatorga yana 7-teoremani qo‘llash mumkin va bu jarayonni istalgan marta takrorlash mumkin. Bundan esa ushbu teorema o‘rinli ekanligi kelib chiqadi:
8-TEOREMA: Agar (17) darajali qator ( – R , R) oraliqda yaqinlashuvchi bo‘lsa, uning yig‘indisini ifodalovchi S(x) funksiya bu oraliqda ixtiyoriy marta differensiallanuvchi bo‘ladi. Bunda S^(m)(x) , m=1,2,3, ∙∙∙ , hosilalar (17) darajali qatorni ketma-ket m marta hadlab differensiallash orqali topiladi. Bunda hosil bo‘ladigan barcha darajali qatorlarning yaqinlashish sohasi ( – R , R) oraliqdan iborat bo‘ladi .
Ko‘rib o‘tilgan
(6)
darajali qator bilan birga
(19)
ham darajali qator deb ataladi. Bunda c=0 bo‘lsa, (6) darajali qator hosil bo‘ladi. (13) qator x–c=X belgilash orqali (6) ko‘rinishdagi darajali qatorga keltiriladi. Bu holda ham R yaqinlashish radiusi (11) yoki (12) formula orqali topilib, (13) darajali qatorning yaqinlashish oralig‘i x=c nuqtaga nisbatan simmetrik bo‘lgan (c – R, c+R) oraliqdan iborat bo‘ladi. Masalan,

darajali qatorning yaqinlashish radiusini (11) Dalamber alomati yordamida topamiz:

.
Bu yerda ko‘rinishdagi I ajoyib limitdan (VII bob,§3 ga qarang) foydalanildi. Demak, berilgan darajali qatorda c=4 bo‘lgani uchun, uning yaqinlashish oralig‘i (c – R , c+R)=(3, 5) bo‘ladi.

Bundan tashqari (19) darajali qator uchun ham 5-8 teoremalar o‘rinli bo‘ladi.

XULOSA
Sonli qatorlar tushunchasini bevosita umumlashtirish orqali funksional qator aniqlanadi. Bu qatorning hadlari funksiyalardan iborat bo‘ladi. Funksional qatorlar ham matematikaning nazariy va amaliy masalalarini qarashda hosil bo‘ladi.
Argumentning har bir mumkin bo‘lgan qiymatida funksional qator sonli qatorga aylanadi. Bu sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, funksional qator argumentning bu qiymatida yaqinlashuvchi deyiladi. Bunday nuqtalar to‘plami funksional qatorning yaqinlashish sohasi deyiladi. Yaqinlashish sohasida funksional qatorning yig‘indisi biror funksiyani ifodalaydi.
Funksional qatorlarning muhim bir xususiy holi bo‘lib darajali qatorlar hisoblanadi. Bu qator argumentning natural darajalaridan tuzilgan bo‘ladi. Abel teoremasidan darajali qatorning yaqinlashish sohasi (–R, R) ko‘rinishdagi simmetrik oraliqdan iborat ekanligi kelib chiqadi. Uning x=± R chegaralarida qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin. Bunda R≥0 bo‘lib, u darajali qatorning yaqinlashish radiusi deyiladi. Berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi Dalamber yoki Koshi alomatlari yordamida aniqlanishi mumkin.
Darajali qatorlarning muhim xossalari shundan iboratki, ularni yaqinlashish oralig‘ida hadlab differensiallash va integrallash mumkin. Bundan darajali qatorning yig‘indisi bo‘lmish funksiya uchun ixtiyoriy tartibli hosila mavjudligi kelib chiqadi.
Tayanch iboralar

* Funksional qator * Yaqinlashish nuqtasi * Yaqinlashish sohasi * Funksional qatorning yig‘indisi * Funksional qatorning qoldig‘i * Darajali qator * Darajali qator koeffitsiyentlari *Abel teoremasi *Yaqinlashish radiusi * Yaqinlashish oralig‘i * Dalamber formulasi * Koshi formulasi

Takrorlash uchun savollar

1. Funksional qator ta’rifi qanday ifodalanadi?

   
   

2. Funksional qatorning yaqinlashish nuqtasi nima?

   
   

3. Funksional qatorning yaqinlashish sohasi deb nimaga aytiladi?

   
   

4. Funksional qatorning yig‘indisi qanday aniqlanadi?

   
   

5. Funksional qatorning qoldig‘i nima?

   
   

6. Yaqinlashuvchi funksional qatorning qoldig‘i qanday xossaga ega?

   
   

7. Darajali qator qanday ta’riflanadi?

   
   

8. Darajali qatorning koeffitsiyentlari deb nimaga aytiladi?

   
   

9. Abel teoremasi qanday ifodalanadi?

   
   

10. Abel teoremasining ahamiyati nimadan iborat?

    
    

11. Darajali qatorning yaqinlashish radiusi nima?

    
    

12. Darajali qatorning yaqinlashish sohasi qanday ko‘rinishda bo‘ladi?

    
    

13. Yaqinlashish radiusi Dalamber va Koshi formulalari orqali qanday topiladi?

    
    

14. Qachon darajali qator yig‘indisi uzluksiz funksiya bo‘ladi?

    
    

15. Qaysi shartda darajali qatorlarni hadlab integrallash mumkin?

    
    

16. Darajali qatorlarni hadlab differensiallash mumkinmi?

    
    

17. Darajali qator yig‘indisini ifodalovchi funksiya qanday xususiyatga ega?

    
    

Testlardan namunalar

1. Quyidagilardan qaysi biri funksional qator emas?

   
   

A) ; B) ; C) ;

D) ; E) keltirilgan barcha qatorlar funksionaldir.

2. Quyidagi x₀ nuqtalardan qaysi birida funksional qator yaqinlashuvchi bo‘ladi?

   
   

A) x₀ = 1; B) ; C) ; D) x₀ = 1; E) .

3. funksional qatorning yaqinlashish sohasini aniqlang.

   
   

A) (–∞, ∞); B) ; C) ;

D) ; E) x>0 .

4. funksional qatorning yaqinlashish sohasini toping.

   
   

A) (–∞, ∞); B) (0, ∞); C) (–2, 2); D) (–∞, 0); E) (–1/2, 1/2).

5. funksional qatorning [π/6, π/2] kesmadagi yig‘indisini toping.

   
   

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

Mustaqil ish topshiriqlari

1. darajali qatorning yaqinlashish radiusini Koshi formulasi yordamida toping.

   
   

2. darajali qatorning yaqinlashish oralig‘ini Dalamber formulasi yordamida toping. Oraliq chegaralarida bu qatorni yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlang.