Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari sonli qatorlar va ularning yaqinlashuvi

Umumlashgan garmonik qatorlar. Integral alomatning tatbig‘iga misol sifatida umumlashgan garmonik qator deb ataluvchi ushbu

(7)
musbat hadli qatorni tekshiramiz. Bu yerda p parametr ixtiyoriy haqiqiy qiymatni qabul qilishi mumkin deb olamiz. Bunda p=1 bo‘lganda (7) oldin ko‘rib o‘tilgan (§1, (11) misolga qarang) garmonik qatorni ifodalaydi.

Agar p≤0 bo‘lsa (7) sonli qator uzoqlashuvchi bo‘ladi, chunki bu holda bo‘lib, qator yaqinlashuvining zaruriy sharti bajarilmaydi.
p>0 holda (7) sonli qator uchun f(x)=1/x^p (x≥1) funksiya teoremadagi barcha shartlarni qanoatlantiradi. Shu sababli (7) sonli qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi

xosmas integral yaqinlashuvchiligiga teng kuchlidir. Bu xosmas integral qiymatini uning ta’rifi bo‘yicha uch holda alohida-alohida hisoblaymiz.

• 0<p<1. .

  
  

Demak, bu holda (7) sonli qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Jumladan,

kabi qatorlar uzoqlashuvchidir.

• 
  
  p=1 . .
  

Bu yerdan garmonik qator uzoqlashuvchi ekanligiga yana bir marta ishonch hosil etamiz.

• 
  
  p>1.
  

= .
Demak, bu holda (7) sonli qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Xususan,

sonli qatorlar yaqinlashuvchidir.

Shunday qilib, (7) umumlashgan garmonik qator p≤1 bo‘lganda uzoqlashuvchi, p>1 holda esa yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, (7) sonli qator yaqinlashuvini Dalamber va Koshi alomatlari orqali tekshirib bo‘lmaydi, chunki bu holda d=1 va k=1 bo‘ladi.
Umumlashgan garmonik qatorlar turli sonli qatorlarning yaqinlashuvchi ekanligini taqqoslash alomatlari yordamida aniqlashda majoranta qator sifatida keng qo‘llaniladi.
XULOSA
Qatorlar nazariyasining asosiy masalalaridan biri berilgan sonli qator yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlashdan iboratdir. Oldin bu masalani qisman yechib, qator yaqinlashuvining zaruriy shartini aniqlagan, ammo uni yetarli emasligini ko‘rgan edik. Shu sababli qator yaqinlashuvining zaruriy shartlarini topish masalasi paydo bo‘ladi. Barcha hadlari (yoki chekli sondagi hadlaridan tashqari barcha hadlari) musbat bo‘lgan qatorlar uchun bu masalani taqqoslash, Dalamber, Koshi va integral alomatlari yordamida hal etish mumkin. Umumlashgan garmonik qatorlar uchun ularning yaqinlashish sharti integral alomati orqali aniqlanadi Bu qator boshqa qatorlarning yaqinlashuvini taqqoslash alomati yordamida tekshirishda keng qo‘llaniladi.

§3. ISHORASI NAVBATLANUVCHI VA O‘ZGARUVCHI

SONLI QATORLAR

• 
  
  Ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorlar.
  
• 
  
  Ishorasi o‘zgaruvchi qatorlar.
  
• 
  
  Absolut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar.
  

Oldingi paragrafda barcha hadlari musbat bo‘lgan sonli qatorlar qaralgan edi. Bu yerda hadlari ham musbat, ham manfiy ishorali bo‘lgan sonli qatorlarning yaqinlashuvini aniqlash masalasini qaraymiz.

1.