Statistika

Jednovýběrové parametrické testy

K dispozici máme jeden VS.
Test významnosti rozdílu a předpokládaného μ₀.

Předpokládáme náhodný VS o rozsahu n, který pochází ze ZS s normálním rozdělením, kde μ je neznámý parametr.

1. 
   známe σ²
   

H₀: μ = μ₀

testovací kritérium:

Řídí se normálním rozdělením N (0,1).
ΙuΙ > u_α (u_2α) - H₀ zamítáme ve prospěch A: μ  μ₀ (μ > μ₀)

ΙuΙ<-u_2α - H₀ zamítáme ve prospěch A: μ < μ₀

2. 
   neznáme σ²
   

H₀: μ = μ₀

testovací kritérium: t =

ΙtΙ  t_α^(n-1)  A:μ  μ₀ ΙtΙ > t_2α  A: μ  μ₀ ΙtΙ  -t_2α  A:μ  μ₀
V případě, že n  50, lze použít:

ΙuΙ > u_α  zamítáme H_o ve prospěch dvoustranné alternativy A: μ  μ₀

Test hypotézy o rozptylu σ²

V praxi se využívá k posouzení přesnosti měřících přístrojů a strojů. Předpokládáme, že máme k dispozici VS, který pochází ze ZS s normálním rozdělením, kde μ a σ² jsou neznámé parametry.

H₀: σ² = σ₀² (σ₀² = předpokládaná hodnota)
Testovací kritérium:

² > ²_α^(n-1)  zamítáme H₀ ve prospěch A: σ² > σ₀²

² > ²_α^(n-1)  A: σ²  σ₀²

² > ²_α^(n-1)  A: σ² < σ₀²

Test o shodě relativní četnosti

Testujeme rozdíly mezi výběrovou relativní četností a relativní četností ze ZS. Máme k dispozici VS o rozsahu n a tento VS pochází ze ZS s alternativním rozdělením. Zajímá nás, kolikrát se jev A vyskytuje. Pravděpodobností výskytu odhadneme vlastní četnosti P = m/n.
H₀: F=F_o

ΙuΙ > u_α  F  F₀ ΙuΙ > u_2α  F > F₀ ΙuΙ < -u_2α  F < F₀

Tento test lze provést za předpokladu, že n >50.

Dvouvýběrové testy

K dispozici máme dva VS.

Test o rozdílu dvou výběrových průměrů

Používáme, porovnáváme-li: ha výnosy dvou odrůd určité plodiny, užitkovost dvou různých plemen krav, spotřebu pohonných hmot u motorů dvou různých typů atd. Jde o nejrozšířenější dvouvýběrový test. K dispozici máme dva náhodné nezávislé VS o rozsahu m a n, které pocházejí ze ZSů s normálním rozdělením.

1. 
   známe rozptyly ZS
   H₀: μ₁ = μ₂
   
   

ΙuΙ > u_α  H₀ zamítáme ve prospěch A: μ₁  μ₂

b) neznáme rozptyly ZS
Podmínkou je zjistit, zda rozptyly jsou shodné nebo různé. K ověření této podmínky lze použít F – test o rozdílu dvou výběrových rozptylů

H₀: ₁² = ₂²
= větší rozptyl
V tabulkách najdeme kritickou hodnotu F_^{[m-1; n-1]} .

F > F_ zamítáme H₀

Výsledkem tohoto testu jsou shodné nebo různé rozptyly. Potom pokračujeme dále v t-testu:

• 
  rozptyly jsou shodné (σ₁² = σ₂²) – Dvouvýběrový t-test
  

H₀: μ₁ = μ₂

ΙtΙ > t_α^(m+n-2)  μ₁  μ₂

ΙtΙ > t_2α  μ₁ > μ₂

ΙtΙ  -t_2α  μ₁  μ₂

• 
  rozptyly jsou různé (Welchův test)
  

Testovací kritérium neporovnáváme s hodnotou v tabulce, ale s přepočítanou tabulkovou hodnotou t*_α.

t > t*_α  μ₁  μ₂

Test lze provést za předpokladu, že m>30, n>30

Párový t-test

Varianta závislých výběrů, kdy prvek VS₁ tvoří pár s určitým prvkem VS₂. Př. měření opotřebeného stroje před a po použití. K dispozici máme dva závislé, náhodné VS, s rozsahem n, pocházející ze ZS s normálním rozdělením.

H₀: μ₁ = μ₂ nebo H₀: α = 0

Testovací kritérium:

= průměrná diference

s_d² = rozptyl diferencí
ΙtΙ > t_α^(n-1)  zamítáme H₀ ve prospěch A: μ₁  μ₂

ΙtΙ > t_2α^(n-1) zamítáme H₀ ve prospěch A: μ₁ > μ₂  pravostranná alternativa

ΙtΙ  -t_2α^(n-1) A: μ₁  μ₂  levostranná alternativa
V případě, že nebudeme znát rozdělení VSů, budeme ho považovat za libovolné, H₀:μ₁=μ₂ ověříme podle

Podmínkou pro tento test je n>50.

Test o rozdílu dvou alternativních četností

Analogie t-testu na relativní četnosti. Často používaný test. Zjišťujeme podíl vyskytujících se jednotek určitého rozsahu. Předpoklad: dva VS o rozsahu n₁, n₂ pocházející ze ZSů s alternativním rozdělením.

H₀: F₁ = F₂

Není rozdílů v četnostech ZSů, za podmínky, že n₁ a n₂>100.
m₁/n₁ - výběrová relativní četnost výskytu náhodného jevu A ve VS₁.
ΙuΙ > u_α  A: F₁  F₂

ΙuΙ > u_2α  A: F₁ > F₂

ΙuΙ < -u_2α A: F₁ < F₂
p při testování intervalu spolehlivosti

Každá H₀ ležící vně intervalu je nepravděpodobná  zamítáme. H₀ ležící uvnitř intervalu se přijímá. Jak je H₀ podporována zjištěnými údaji VS, zjišťujeme výpočtem hodnoty p = pravděpodobnost, že výběrová charakteristika bude alespoň tak velká jako skutečně zjištěná hodnota, ale to pouze za předpokladu, že H₀ je pravdivá.

p - hodnota se neporovnává s testovacím kritériem, ale porovnává se s α  p < α zamítáme H_0.

Při malém VS můžeme často provést mylné přijetí H₀. Porovnání p s α je podrobnější. U velkých VS se snižuje variabilita souboru, což vede k tomu, že i nepatrný rozdíl je rozlišitelný. V porovnání α s p by to nemělo být.

Testy shody rozdělení (=testy dobré shody)

Patří k neparametrickým testům, ale ne mezi klasické.

²-test

Hledáme rozdělení, které by odpovídalo náhodnému výběru, který slouží jako teoretický model.

Předpoklad: VS rozdělen do k-skupin (intervalů). V každé skupině máme určitý podíl variant (p₁, p₂,..., .p_n). Porovnáváme empirické rozdělení četností s teoretickým rozdělením, které můžeme vybrat na základě dřívějších zkušeností, na základě grafického zobrazení VS sledovaného jevu.

H₀ předpokládá shodu mezi empirickým a teoretickým rozdělením. ZS má rozdělení normální, jestli existuje shoda mezi empirickým a teoretickým rozhodnutím.

²=Σ( n_i- n_pi) ²/n_pi
n_i - pozorované četnosti výběrové

n_pi - teoretické četnosti
²_α ^(k-c-1), kde k = počet skupin, c =počet odhadovaných parametrů.
H_o zamítáme, neexistuje-li shoda mezi empirickým a teoretickým rozdělením.
Podmínka: dostatečně velký VS (n>50), což je zajištěno tím, že žádná teoretická četnost (n_pi<5).

Tam, kde je zvýšení rozsahu nemožné, slučujeme dosavadní hodnoty. Běžně slučujeme okrajové skupiny.

²-test má dvě základní podoby:

1. 
   testovaná hypotéza představuje určité standardní rozdělení (normální, T, F...)
   
2. 
   H_o tvoří jakékoliv teoretické rozdělení - obecnější případ
   

Kolmogorov-Smirnův test

Používáme při problémech s malým VS při ²-testu. Nerozdělujeme do skupin. Musíme znát parametry rozdělení.

Testovací kritérium:

N_{j -} kumulativní empirické četnosti

H_{j -} kumulativní teoretické četnosti
D > D_α  zamítáme H₀.

Tabulky pro D_α jsou sestaveny pouze pro hodnoty do 40 a tak v případě, že n > 40 hodnota .

Neparametrické testy

Jsou obecnější - dají se používat ve větší míře (znaky kvantitativní i kvalitativní). Používáme, když neznáme typ rozdělení nebo jsou soubory příliš malé. Mají menší sílu, tzn. menší schopnost zamítání nesprávné H_o. (menší vypovídací schopnost). Počítáme s pořadovými čísly, tzn. původní hodnoty jsou nahrazeny pořadovými čísly. Výpočetní jednoduchost.

Wilcoxon-Whiteův test

Obdoba t-testu o rozdílu dvou výběrových průměrů. ZS s libovolným rozdělením, VS₁ má rozsah m, VS₂ má rozsah n.

H₀: μ₁=μ₂
Postup:

1. 
   smícháme hodnoty VSů,
   
2. 
   seřadíme sestupně a jednotlivým hodnotám přiřazujeme vzestupně čísla (začneme od1). V případě stejných hodnot jim přiřadíme průměrné pořadí
   
3. 
   pořadová čísla rozdělíme zpět do VSů a sečteme je.
   

T_x - součet pořadových čísel VS₁

T_y - součet pořadových čísel VS₂
Testovací kritérium: = menší z hodnot T_x a T_y
!! Kritické obory jsou vymezeny obráceně než u parametrických testů. !!

 T_α zamítáme H_0.
Pokud: m > 8, n >14  možno použít normální aproximaci:

Testovací kritérium:

μ_T > u_α  zamítáme H_0.

Párový t-test

Závislé VSy o rozsahu n, pocházející ze ZSů s libovolným rozdělením. Obdoba párového t-testu (parametrického).

1. 
   jednoduchý znaménkový test
   Nejdříve spočítáme diference d_i, pak sečteme dočet kladných a počet záporných diferencí, menší z obou čísel je testovacím kritériem Z.
   
   Z  Z_α  zamítáme H₀ o shodě průměrů.
   Nevýhoda - má malou sílu.
   
2. 
   Wilcoxonův test
   H₀: μ₁=μ₂
   Postup: vypočítáme si diferenci d_i, následně nenulovým diferencím v absolutní hodnotě přiřadíme vzestupně pořadová čísla a potom tato pořadová čísla sečteme zvlášť pro oba VSy. Menší z obou čísel je testovacím kritériem W.
   
   W  W_α  zamítáme H₀ o shodě průměrů.

   Je-li n>25, používáme normální aproximaci:

   
   Testovací kritérium:
   u_T > u_α  zamítáme H_0.
   

Kruvkal-Wallisův test

Neparametrická obdoba jednoduché analýzy rozptylu. Máme k dispozici k VSů.
H₀: μ₁ = μ₂ =…..= μ_n
Postup: všechny Vsy sloučíme do jednoho výběru a očíslujeme vzestupně pořadovými čísly. Stejným hodnotám dáme průměrné pořadí. Pak pořadová čísla sečteme pro každý VS zvlášť a získáme T₁, T₂,...........,T_n.

Testovací kritérium:

H >^2(k-1)  Zamítáme H₀, alespoň 2 z průměrů jsou rozdílné.
Máme-li u tohoto testu stejné hodnoty, kterým přiřazujeme průměrná pořadí, musíme testovací kritérium opravit korekčním faktorem:

p - počet tříd se stejným pořadím

t_i - počet pořadí v i-té třídě