Statistika

Intervalový odhad

Spočívá ve stanovení mezí určitého intervalu, ve kterém se neznámá charakteristika vyskytuje s předem známou určitou pravděpodobností 100.(1-α)% - interval spolehlivosti (konfidenční interval) stanovíme za podmínky : P (T_DH)=1-α

T_D = dolní hranice, T_H = horní hranice, T = nestrannost odhadu,  = hladina významnosti
Spolehlivost odhadů (koeficient spolehlivosti)

Pravděpodobnost, se kterou neznámá charakteristika leží v intervalu α = 0,05  95 %, α = 0,01  99 % , α = 0,0001je pro nás nepříznivý. Čím vyšší pravděpodobnost, tím větší rozšíření intervalu.

Přesnost odhadů

Max. chyba, které se při odhadu s danou spolehlivostí můžeme dopustit. Posuzujeme podle šířky intervalu spolehlivosti. S rostoucí šířkou intervalu spolehlivosti klesá přesnost odhadu.

Interval může být na obě strany se stejnou chybou - symetrický x nesymetrický

1. 
   dvoustranné intervaly - nejobvyklejší
   
2. 
   jednostranné intervaly - jednodušší
   

1. 
   levostranný - P (T_D - omezen zdola
   
2. 
   pravostranný P (T_H)=1-α - omezen shora
   

Přesnost intervalových odhadů - možnost zahrnout více čísel, možnost stanovit chybu odhadu a počítat s ní.

Interval spolehlivosti pro neznámý průměr ZS = 

Interval spolehlivosti lze stanovit, je-li splněn předpoklad, že VS pochází ze ZS s normálním rozdělením. Pokud tento předpoklad není splněn, tak považujeme rozdělení ZS za libovolné (neznámé) a interval spolehlivosti pro průměr lze konstruovat pouze tehdy, je-li rozsah VS n > 100, za příznivých podmínek n > 50.

1. 
   známe σ² - výběr s opakováním
   Opíráme se o veličinu
   

P (-u_α < ΙuΙ < u_α) = 1-α => P (-u_α<_α)=1-α



=> dvoustranný interval spolehlivosti

=> levostranný interval

=> pravostranný interval
2) neznáme σ² - výběr s opakováním
Budeme se opírat o veličinu t = , která se řídí t-rozdělením, t^(n-1)

P = (-t_α < ΙtΙ < t_α) = 1 - α

P= (-t_α<< t_α)=1-α
=> dvoustranný interval spolehlivosti

=> levostranný interval

=> pravostranný interval
, resp. = směrodatná odchylka souboru výběrových průměrů
Interval spolehlivosti lze vymezit jako ± Δ

Δ = přípustná chyba

Δ= a Δ=

Vzorec pro výpočet přípustné chyby

Lze použít ke třem úkolům:

1. 
   ke stanovení šířky intervalu spolehlivosti
   
   = konečnostní násobitel, je < 1, zužuje interval spolehlivosti
   
   
   
2. 
   ke stanovení rozsahu souboru - určení rozsahu výběru při dané chybě a odhadu:
   => pro výběr s opakováním
   => pro výběr bez opakování
   
   
   
3. 
   ke stanovení spolehlivosti odhadů
   
   

Stanovení intervalu spolehlivosti na základě variačního koeficientu - počítáme s tzv. relativní přípustnou chybou

=> nestranný odhad
=> s vracením

Interval spolehlivosti pro rozdíl dvou průměrů

Máme k dispozici dva náhodné VS, které pocházejí ze ZS s normálním rozdělením

μ₁ = průměr ZS₁, μ₂ = průměr ZS₂. Jestliže ZS není s normálním rozdělením, lze konstruovat, jestliže rozsahy VS jsou větší než 100.

1. 
   známe rozptyly ZS
   
   
   
   
2. 
   neznáme σ²
   Musíme použít kritickou hodnotu t-rozdělení.
   
   

Např.: průměrné známky studentů za zimní a letní semestr. Podmínkou je nezávislost VS - nezávislý výběr x závislý výběr - pozorování provádíme na stejných výběrech (VS za letní a zimní semestr je shodný) => párování. Výhody: jednodušší - jeden VS. Nevýhody: snižuje rozpětí intervalu - VS je užší.

Student	ZS	LS
Novák	1,2	1,7
Získal	2	2,1
Kadeřábková	1,1	1,4
Soukup	3	2,1
Šrédl	2,4	2,4