Statistika

d_i = diference mezi průměry

= průměrná diference

s_d² = rozptyl diference
Interval spolehlivosti:

Interval spolehlivosti pro neznámý rozptyl ZS

Konstruujeme ho za předpokladu výběrů ze ZS s normálním rozdělením a předpokládáme, že neznáme průměr ZS.

Opíráme se o veličinu: , která se řídí ² rozdělením
=> dvoustranný interval, který je nesymetrický

=> levostranný interval

=> pravostranný interval

Na rozdíl od intervalu spolehlivosti pro průměr má méně praktických aplikací.

Interval spolehlivosti pro průměrnou odchylku

=> dvoustranný nesymetrický interval
Interval spolehlivosti pro relativní četnost (F_i)

Při stanovení tohoto intervalu se jedná vlastně o odhad pravděpodobnosti výskytu určitého jevu.

Do 100 jednotek - problematika malých VS. Nad 100 jednotek - problematika velkých VS.
Výběrová relativní četnost (f_i) se řídí binomickým rozdělením a v případě výběru bez vracení rozdělením hypergeometrickým  vede ke složitým vzorcům (tedy k použití nespojitých veličin). Obvykle jsou vypočítány tabulky, z nichž odečteme interval (horní a dolní) - jsou určeny pro 95% spolehlivost.
Je-li n100 , tak lze binomické a hypergeometrické rozdělení aproximovat (nahradit) rozdělením normálním. Konstrukce se bude opírat o veličinu: . Tato veličina se řídí normálním rozdělením a pro tuto veličinu najdeme v tabulkách normálního rozdělení hodnotu -u_ a u_.
=> dvoustranný symetrický interval
= přípustná chyba

= přípustná chyba, která platí v případě výběru bez vracení (musíme chybu upravit o konečnostní násobitel)

Interval spolehlivosti pro rozdíl dvou relativních četností

Lze ho v případě výběru bez vracení též upravit konečnostním násobitelem.

Testování statistických hypotéz
2. základní úkol statistické indukce. Postup, při kterém ověřujeme, zda předem vyslovená hypotéza platí pod vlivem provedených pozorování.
Statistické hypotézy

Tvrzení o tvaru nebo charakteristikách rozdělení statistických znaků. Zabývají se:

• 
  rovností dvou parametrů
  
• 
  rovností více než dvou parametrů
  
• 
  shodou parametrů ZS a VS
  
• 
  shodou empirického a teoretického rozdělení
  

Účel testů - výsledky u VS musíme zobecnit na ZS.
Nulová hypotéza (H₀) = Testovaná statistická hypotéza, která něco tvrdí.
Hypotéza alternativní (A nebo H₁) = Popírá platnost H₀ a tvrdí opak. Přijímáme jí, jestliže jsme H₀ zamítli jako nesprávnou.
H₀: T=T₀ (T - charakteristika ZS, T₀ - předpokládaná hodnota charakteristiky ZS)
A: T  T₀

A: T  T₀  složená oboustranná A  oboustranný test

A: T  T₀  pravostranná složená A  jednostranný test

A: T  T₀  levostranná složená A  jednostranný test

A: T = T₀  jednoduchá A
Volbou A je určen způsob testování.
Chyba a chybovost při rozhodování v A

Skutečnost Výsledek	H0
	pravdivá	nepravdivá
nezamítáme H0	správné rozhodnutí (1 - )	chyba II.druhu 
zamítáme H0	chyba I.druhu 	správné rozhodnutí (1 - )

Chyba I. druhu α - zamítáme H₀, i když správná. Pravděpodobnost α = hladina významnosti

čím je α menší, tím je test přesnější.

Chyba II. druhu β - nezamítáme H₀, i když není správná. Snažíme se, aby pravděpodobnosti chyb (α,β) byly co nejmenší.
Klesá-li α, znamená to, že roste β a naopak. V praxi volíme α a β zanedbáváme.

Testy, které berou bezprostředně v úvahu pouze α, nazýváme testy významnosti.

1 - β = síla testu - schopnost testu odhalit neplatnost H₀.
Formulace:

• 
  H₀ nelze zamítnout (přijímáme H₀) - abychom mohli přijmout H₀, musíme mít zaručeno, že β je malá, což často nemáme.
  
• 
  H₀ zamítáme ve prospěch A.
  

Pravidlo pro správné rozhodnutí

Celý výběrový prostor S rozdělíme na 2 části - obor přijetí (P), kritický obor (K)

Hodnoty, jimiž jsou soubory P a K odděleny, nazýváme kritické hodnoty. Jestliže výsledek patří do:

1. 
   P - pak H₀ nelze zamítnout
   
2. 
   K - pak H₀ zamítáme ve prospěch A.
   

Obor K je velmi malý. Pokud je výsledek v K, je naprosto nepravděpodobné, že jsme se dopustili chybného výsledku.

Postup testování statistických hypotéz

1. 
   Formulace H₀ a A.
   
2. 
   Volba hladiny významnosti.
   
3. 
   Volba testového kritéria.
   
4. 
   Určení kritického oboru.
   
5. 
   Výpočet hodnoty testového kritéria  veličina vypočítaná z výběrových hodnot; řídí se zákonem rozdělení (², t, F, normální), v tabulkách kritických hodnot si ke každému rozdělení najdeme hodnotu t_α.
   
6. 
   porovnání hodnoty t a t_α.
   
7. 
   t > t_α - zamítáme H₀ ve prospěch A
   
8. 
   t < t_α - H₀ nelze zamítnout
   
9. 
   t = t_α - nelze učinit rozhodnutí, ale zvolit jiný test, používáme i tehdy, pokud se t velmi málo odlišuje od t_α.
   

Zamítnutí logické x statistické - zamítneme-li H₀ nebo ne, ještě neznamená, že H₀ neplatí nebo platí, ale jen, že výsledek pokusu její platnost nepotvrzuje.
Testy
Testy parametrické

Použití vyžaduje znalost typů rozdělení a parametrů ZS, ze kterého byl VS pořízen.

Testy neparametrické

Lze je použít i v případě, kdy neznáme typ rozdělení a parametry ZS. Jednoduchý výpočet - konstruujeme je jako testy pořadové  původní hodnoty nahrazujeme pořadovými čísly. Nevýhoda - menší síla.

Parametrické testy

1. 
   Vybereme vhodný standardní parametrický test.
   
2. 
   Formulace H₀.
   
3. 
   Formulace A.
   
4. 
   Volba α.
   
5. 
   Výpočet testovacího kritéria dle známého vzorce.
   
6. 
   Vyhledáváme t a t_α.
   
7. 
   Porovnání t a t_α.
   
8. 
   Zhodnocení a interpretace výsledků.