Mövzu 1 matriSLƏr və determinantlar matrislər. Matrislər üzərində əməllər

§6. Matrisin ranqı və bazis minor,

bazis minoru haqqında teorem
Tutaq ki, -ölçülü

matrisi verilmişdir. Bu matrisin k sayda ixtiyari sətirləri ilə k sayda ixtiyari sütunlarının kəsişmələrindəki elementlərdən k-tər­tibli kvadrat matris düzəldək Bu k-tərtibli matrisin determinan­tına A matrisinin k tərtibli minoru deyilir. Burada k ədədi m və n ədədlərinin kiçiyini aşa bilməz, yəni .

Tərif. A matrisinin sıfırdan fərqli ən yüksək tərtibli minorunun tərtibinə onun ranqı deyilir və r(A) ilə işarə edilir.

Aydındır ki,

bərabərsizliyi doğrudur. Tərifdən aydındır ki, əgər olar­sa, onda matrisinin r-tərtibli minorlarından heç olmasa biri sıfırdan fərqli, tərtibi r-dən böyük olan minorlarının hamısı isə sıfra bərabər olmalıdır.

Ranqı r olan A matrisinin sıfırdan fərqli olan r-tərtibli minoruna onun bazis minoru deyilir. matrisinin sıfırdan fərqli bir neçə -tərtibli minoru ola bilər ki, onların da hər biri həmin matrisin bazis minoru olur.

Ranqı r olan A matrisinin sıfırdan fərqli olan r-tərtibli minoruna onun bazis minoru deyilir.

A matrisinin, kəsişmələrində hər hansı bazis minorunun elementləri yerləşən sətir və sütunlarına bazis sətirləri və bazis sütunları deyilir.

Teorem (bazis minoru haqqında). Bazis sətirləri (sütunları) xətti asılı deyildir. A matrisinin istənilən sətri (sütunu) onun ba­zis sətirlərinin (sütunlarının) xətti kombinasiyasından ibarətdir.

ölçülü düzbucaqlı mat­ris­dən düzəldilmiş bütün mümkün k-tərtibli ( ) minorların ümumi sayı olacaq. Matrisin ranqının hesablanması üçün iki üsul var.
1 üsul. Matrisin ranqını tapmaq üçün hesablamanı onun aşağı tərtibli minorlarından başlayıb yuxarı tərtibli minorlara keçmək və bu prosesdə sıfırdan fərqli r-tərtibli minoruna rast gəldikdən sonra, ancaq onu haşiyələyən (r+1)-tərtibli minorları hesablamaq lazımdır; əgər -i ( ) haşiyələyən (r+1)-tərtibli minorların hamısı sıfırdırsa, onda matrisin ranqı r-dir. Əgər (r+1)-tərtibli haşiyələyən minorlardan biri, məsələn, sıfırdan fərqli olarsa, onda matrisin ranqı r-dən böyük olmalıdır və bu prosesi -i haşiyələyən (r+2)-tərtibli minorları hesablamaqla davam etdirməliyik. Əgər -i ( ) haşiyələyən bütün (r+2)-tərtibli minorlar sıfır isə, onda matrisin ranqı r+1 olmalıdır, əks halda (r+2) tərtibli minorlara keçmək lazımdır və s.
2 üsul. Matrisin ranqını hesablamaq üçün onu əvvəlcə aşağıdakı elementar çevirmələr vasitəsilə sadə şəklə gətirmək lazımdır:
1) Matrisin çevrilməsi (transponirə edilməsi), yəni onun hər bir sətrinin həmin nömrəli sütunla əvəz edilməsi;

2) İxtiyari iki sətrinin və ya sütununun yerlərinin dəyiş­dirilməsi;

3) Hər hansı sətir və ya sütun elementlərinin sıfırdan fərqli ixtiyari bir ədədə vurulması;

4) Hər hansı bir sətir elementlərinin müəyyən bir ədədə vurulub başqa sətrin uyğun elementləri ilə toplanması;

5) Bütün elementləri sıfır olan sətir və sütunların matris­dən kənar edilməsi.
Matris üzərində aparılan belə elementar çevirmələr matrisin ranqını dəyişmir.
§5. Tərs matris və onun təyin edilməsi.

Tərif. Kvadrat matrisin determinantı sıfırdan fərqli olduqda ona qeyri-məxsusi (cırlaşmayan), determinantı sıfra bərabər olduqda isə ona məxsusi (cırlaşan) matris deyilir.

Tərif. A matrisinin tərsi elə matrisinə deyilir ki, bərabərliyini ödənsin.

Tutaq ki,

kvadrat matrisi verilmişdir.

Teorem (tərs matrisin varlığı). Veril­miş A matrisi­nin tərs mat­risi olması üçün onun deter­minan­tının sıfırdan fərqli olması zəruri və kafi şərtdir.
- tərtibli cırlaşmayan A matrisinin tərsi aşağıdakı düsturla təyin olunur:

,

burada ilə A matrisinə uyğun determinantın elementinin cəbri tamam­lyıcısı işarə olunmuşdur.

Xassələri:

1. , 2. ,

3. 4. .