Mat-analiz pdf

botiq bo‘ladi. Teoremaning ikkinchi qismi shunga o‘xshash 
isbotlanadi. 
Agar biror intervalda f’’(x)>0 ( f’’(x)<0 ) bo‘lsa, u holda 
y=f(x) egri chiziq shu intervalda botiq (qavariq) bo‘ladi. 
Faraz qilaylik, 
𝐸
- nuqtalar to‘plami bo‘lsin va 
𝑓
∈
𝐶
(
𝐸
) 
bo‘lsin. Quyidagi 
belgilashni kiritaylik 
𝜔𝑓
(
𝛿
)
𝐸
= sup 
|
𝑧
1−
𝑧
1 
|≤
𝛿
𝑧
1,
𝑧
1
∈
𝐸
|
𝑓
(
𝑧
1 
) − 
𝑓
(
𝑧
2 
)|, 
𝛿
> 0. 
Bu funksiya berilgan 
𝑓
(
𝑧
) funksiyaning 
𝐸
to‘plamdagi. 
uzluksizlik moduli 
deyiladi. 
𝑓
(
𝑧
)funksiyaning 
𝐸
to‘plamdagi uzluksizlik 
moduli quyidagi xossalarga. 
ega. Shu sababli bu funksiya 
𝑓
∈
𝐶
(
𝐸
) funksiyaning. 
xarakteristik funksiyasi 
.hisoblanadi. 
Endi 
𝐸
. to‘plamdan 
𝑧
0 nuqtani belgilab olib. quyidagi 
funksiyani qaraymiz 

---

𝜔𝑓
𝑧
0 
(
𝛿
, 
𝜂
)
𝐸
= sup 
|
𝑧
1−
𝑧
1 
|≤
𝛿
𝑧
1,
𝑧
1
∈
𝐸
∩
𝑂𝜂
(
𝑧
0 
) 
|
𝑓
(
𝑧
1 
) − 
𝑓
(
𝑧
2 
)|, 
𝛿
> 0, 
𝜂
> 0. 
bu yerda 
𝑂𝜂
(
𝑧
0 
) to‘plam 
𝑧
0 nuqtaning 
𝜂
- atrofi bo‘lib. quyidagicha 
aniqlangan 
𝑂𝜂
(
𝑧
0 
) 
≝
{
𝑧
: |
𝑧
− 
𝑧
0 
| < 
𝜂
}. 
𝜔𝑓
(
𝛿
)
𝐸
- funksiyani 
𝐸
to‘plamdagi 
𝑓
funksiyaning uzluksizlik 
moduli deyiladi. 
𝜔𝑓
|
𝜕𝐸
(
𝛿
)
𝐸
- funksiyani esa 
𝐸
to‘plamning. chegarasidagi 
𝑓
funksiyaning 
uzluksizlik. moduli deyiladi 

---

A Tegishli funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lganda 
ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish masalasi engillashadi. 
Odatda hosilalardan foydalanib, aniqmasliklarni ochish 
Lopital qoidalari deb ataladi. Biz quyida Lopital 
qoidalarining bayoni bilan shug‘ullanamiz. 
1.
 
ko‘rinishdagi aniqmaslik. Ma’lumki, da va bo‘lsa, ifoda 
ko‘rinishdagi aniqmaslik deyilar edi. Ko‘pincha da 
ifodaning limitini topishga qaraganda ifodaning limitini 
topish oson bo‘ladi. Bu ifodalar limitlarining teng bo‘lish 
sharti quyidagi teoremada ifodalangan. 
1-
 
teorema. Agar 
1)
 
va funksiyalar , bu yerda , to‘plamda 
differensiallanuvchi va shu to‘plamdan olingan ixtiyoriy 
uchun ; 2) ; 3) hosilalar nisbatining limiti (chekli yoki 
cheksiz) mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatining 
limiti mavjud va tenglik o‘rinli bo‘ladi. 
 
Isbot. à Har ikkala funksiyani nuqtada , deb aniqlasak, 
natijada ikkinchi shartga ko‘ra 
tengliklar o‘rinli bo‘lib, va funksiyalar nuqtada uzluksiz 
bo‘ladi. 
Avval holni qaraymiz. Berilgan va funksiyalar , bu yerda , 
kesmada Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. 
Shuning uchun bilan orasida shunday nuqta topiladiki, 
ushbu tenglik o‘rinli bo‘ladi. ekanligini e’tiborga olsak, 
so‘ngi tenglikdan kelib chiqadi. Ravshanki, bo‘lganligi 
sababli, bo‘lganda bo‘ladi. Teoremaning 3-sharti va (2) 
tenglikdan kelib chiqadi. 

---

Shunga o‘xshash, holni ham qaraladi. ¨ 
2-
 
teorema. Agar nurda aniqlangan va funksiyalar berilgan 
bo‘lib, 1) da chekli va hosilalar mavjud va , 2) ; 3) hosilalar 
nisbatining limiti (chekli yoki cheksiz) mavjud bo‘lsa, u 
holda funksiyalar nisbatining limiti mavjud 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. 
2.
 
ko‘rinishdagi aniqmaslik. Agar da , bo‘lsa, ifoda 
ko‘rinishidagi aniqmaslik deyilar edi. Endi bunday 
aniqmaslikni ochishda ham va funksiyalarning 
hosilalaridan foydalanish mumkinligini ko‘rsatadigan 
teoremani keltiramiz. 
3-
 
teorema. Agar 1) va funksiyalar nurda 
differensiallanuvchi, hamda , 2) , 3) mavjud bo‘lsa, u holda 
mavjud va bo‘ladi.