Mat-analiz pdf
Yüklə 383,85 Kb. Pdf görüntüsü
|
| O’ZBEKISTON REPUBLIKASI OLIY TA’LIM,FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGIO’ZBEKISTON MILLIY UNVERSITETINING JIZZAX FILALI AMALIY MATEMATIKA FAKULTETI AXBOROT XAVFSIZLIGI YONALISHI MATEMATIK ANALIZ FANIDAN MUSTAQIL ISH Bajardi: Aliqobilov Inomjon Tekshirdi: Almuratov Firdavs Reja: N1 1.Ratsional sonlar 2.Iratsional sonlar 3.Kasr sonning o’nlik yozuvi Reja: N2 1.lemmas haqida 2.Isbotlar 3.Lemma qoidalari Reja: N3 1.Limit haqida tushuncha 2.Limit haqida teoremalar 3.Limitga ega bo’lgan funksiyalarning xossalari Reja: N4 1.Funksiyaning uzluksizlik modul tushunchasi 2.Qavariq funksiya tarifi 3.Uzluksiz moduli va uning xossalari Reja: N5 1. Lopital teoremasi 2. Aniqmasliklarni ochishda lopital qoidalari 3.Teylor-Makleron Formulalari Ratsional sonlar. Ushbu qisqarmaydigan kasr ko’rinishida tasvirlangan har bir son ratsional son deyiladi. Barcha ratsional sonSlar to’plami Q harfi bilan belgilaymiz. Yuqorida p va n sonlar 1 dan boshqa umumiy bo’luvchilari yo’qligini (p,n)=1 belgi bilan ifodalaymiz. Shunday qilib, Ratsional sonlarning yuqorida keltirilgan ta’rifi quyidagi ta’rifga ekvivalent: cheksiz davriy o’nli kasr ko’rinishida tasvirlanadigan har qanday son ratsional son deyiladi. Shuni takidlash lozimki, to’plamdagi bir xil elementlar uning bitta elementi sifatida olinganidek Q to’plamda ham bir-biriga teng bo’lgan ratsional bitta element deb qaraladi. Ratsional sonlar to’plami Q ham butun sonlar to’plami kabi tartiblangan. Ratsional sonlar to’plamidagi eng kichik element ham, eng katta element ham mavjud emas. Ratsional sonlar to’plamida qo’shish, ayirish, ko’paytirishdan tashqari bo’lish (nol bo’lmagan songa) amali ham kiritiladi va bu amallarga nisbatan quydagi xossalar o’rinlidir . bu xossalarda t,s va r lar ixtiyoriy ratsional sonlar.) 10. Kommutativlik: r+t=t+r, rt=tr 20.Assotsiativlik: (r+t)+s=r+(t+s), (r·t)·s=r·(s·t) 30. Distributivlik: (r+t)·s=r·s+t·s 40. Nol sonining xususiyati: r+0=r, r·0=0 50. Bir sonining xususiyati: r·1=r 60. Qarama-qarshi elementning mavjudligi: uchun shunday soni mavjudki, r+(-r)=0 bo’ladi. 70. Teskari elementning mavjudligi: soni uchun shunday son mavjudki r·r-1=1 bo’ladi. 80. sonlar uchun r>t bo’lganda r+s>t+s bo’ladi. 90. sonlar uchun r>t bo’lganda r·s>t·s bo’ladi. 100. Ixtiyoriy ikki musbat r va t ratsional sonlar uchun shunday natural son n mavjudki n·r>t bo’ladi. Bu xossa odatda Arximed aksiomasi ham deb yuritiladi. Irratsional sonlar - ratsionalmas, yaʼni kasr bilan aniq, ifodalab boʻlmaydigan sonlar. I. s. davriymas cheksiz oʻnli kasrlar bilan ifodalanadi. Irratsional nisbatlarning mavjudligi (mas, kvadrat diagonalining tomoniga nisbati) qadim zamonlarda ham maʼlum boʻlgan. "Ix." atamasi birinchi marta 16-asr da paydo boʻlgan. Ammo izchil I. s. nazariyani 19-asr 2-yarmida nemis matematigi R. Dedekind va b. olimlar ishlab chiqqan. Irratsional sonlarning xossalari. 2 ta manfiy bo'lmagan irratsional sonlar yig'indisi ratsional son bo'lishi mumkin. Irratsional sonlar ratsional sonlar to‘plamidagi Dedekind bo‘limlarini belgilaydi, ularning quyi sinfida eng katta son, yuqori sinfda esa undan kichiki yo‘q. Har bir haqiqiy transsendental son irratsional sondir. Barcha irratsional sonlar algebraik yoki transsendent hisoblanadi. Irratsional sonlar to'plami hamma joyda raqamlar chizig'ida zich joylashgan: har bir juft son o'rtasida irratsional son mavjud. Irratsional sonlar to‘plamidagi tartib haqiqiy transsendental sonlar to‘plamidagi tartib bilan izomorf. Irratsional sonlar toʻplami cheksiz, 2-toifali toʻplamdir. Ratsional sonlar ustidagi har bir arifmetik amalning natijasi (0 ga bo'lishdan tashqari) ratsional sondir. Irratsional sonlar ustidagi arifmetik amallarning natijasi ratsional yoki irratsional son bo‘lishi mumkin. Ratsional va irratsional sonning yig'indisi har doim irratsional son bo'ladi. Irratsional sonlar yig'indisi ratsional son bo'lishi mumkin. Misol uchun, bo'lsin x mantiqsiz, keyin y=x*(-1) ham mantiqsiz; x+y=0, va raqam 0 ratsional (agar, masalan, har qanday 7 darajaning ildizini qo'shsak va etti darajaning ildizini ayirib tashlasak, biz 0 ratsional sonini olamiz). O'nli kasrlarni o'qish Keling, o'nli kasrlarni o'qish qoidalari haqida bir necha so'z aytaylik. Oddiy oddiy kasrlarga to'g'ri keladigan o'nlik kasrlar, xuddi shu oddiy kasrlar singari o'qiladi, oldindan faqat "nol butun sonlar" qo'shiladi. Masalan, 0,12 kasr kasr oddiy 12/100 kasrga to'g'ri keladi ("o'n ikki yuzinchi" o'qing), shuning uchun 0,12 "o'n ikki yuzinchi nol nuqta" ni o'qiydi. Aralashgan sonlarga mos keladigan o'nlik kasrlar aynan shu aralash sonlar singari o'qiladi. Masalan, kasr 56.002 - bu aralash son, shuning uchun 56.002 kasrda "ellik olti nuqta ikki minginchi qism" o'qiladi. O'nli joylar O'nli kasrlarni belgilashda, shuningdek, tabiiy sonlarni belgilashda har bir raqamning ma'nosi uning joylashishiga bog'liq. Darhaqiqat, 0,3 kasrdagi 3 raqami uchdan o'ntani, o'nlik kasrda 0,0003 - uch o'ninchi qismni va o'nlik kasrda 30000152 - uch o'n mingni anglatadi. Shunday qilib, biz gaplashishimiz mumkin kasrli kasrlar, shuningdek, haqida natural sonlardagi raqamlar. O'nli kasrdagi raqamlarning kasrga qadar nomlari tabiiy sonlardagi raqamlarning nomlari bilan to'liq mos keladi. Kasrlarning ikki turi mavjud - ma'noda, butun sonlarni yozishning ikki shakli. Oddiy (yoki vertikal) 1/2 yoki 237/5 kabi kasrlar. 0,5 yoki 47,4 kabi o'nlik kasrlar. E'tibor bering, umuman olganda, kasr-yozuvidan foydalanish yozilgan narsa kasr sonini anglatmaydi, masalan 3/3 yoki 7.0 - so'zning birinchi ma'nosida kasrlar emas, balki ikkinchisida, albatta, kasrlar. Matematikada, umuman olganda, qadimgi davrlardan boshlab o'nlik sanash qabul qilingan va shuning uchun kasr kasrlari oddiylarga qaraganda qulayroq. Lemmas haqida Haqiqiy chiziq segmentini qamrab oluvchi har qanday cheksiz intervallar tizimidan ushbu segmentni ham qamrab oluvchi chekli quyi tizimni tanlash mumkin. Bu taklifni ko'p o'lchovli holatga umumlashtirish Geyne-Borel lemmasi deb ham ataladi Geyne-Borel lemmasini umumiy holatda shakllantirish uchun biz qoplama tushunchasini kiritamiz. Toplamlar tizimi: indeksi qandaydir A to'plamdan o'tsa, X to'plamning qoplami deyiladi, agar Agar qoplamning bir qismi, masalan , - ning kichik to’plami, o'zi X to'plamining qoplamini tashkil qiladi, shunaqada - ning kichik qoplami deyiladi. Agar qoplamning bir qismi, masalan , - ning kichik to’plami, o'zi X to'plamining qoplamini tashkil qiladi, shunaqada - ning kichik qoplami deyiladi. Agar qoplamning bir qismi, masalan , - ning kichik to’plami, o'zi X to'plamining qoplamini tashkil qiladi, shunaqada - ning kichik qoplami deyiladi. Lemma fazoda X yopiq cheklangan to‘plam bo‘lsin. X to'plamini qamrab olgan har qanday ochiq to'plamlar tizimidan bo'lganda, X to'plamini ham qamrab oladigan chekli quyi tizimni ajratib ko'rsatishimiz mumkin. Qisqacha aytganda, ular shunday deyishadi: fazosidagi yopiq chegaralangan to'plamning har bir ochiq qopqog'ida cheklangan pastki qopqoq mavjud. Qopqoq ochiq to'plamlardan iborat bo'lsa, ochiq deyiladi Isbot_Ulardan_kamida_bittasini_dan_chekli_intervalli_quyi_tizim_qam rab_olmaydi._Keling,_uni_deb_nomlaymiz_va_buning_uchun_ikkiga_b olinish_jarayonini_takrorlaymiz. Isbot'>Isbot Bu isbot Bolzano usuli (bisektsiya) bilan amalga oshiriladi va uyalangan segmentlar bo'yicha Koshi-Kantor lemmasiga asoslanadi. Ko'p jihatdan chegara nuqtasida Bolzano-Weierstrass lemmasining isbotiga o'xshaydi. Isbot Segment cheksiz intervallar tizimi bilan qoplansin. Faraz qilaylik, dan chekli oraliqlar berilgan segmentni qamrab olmaydi. segmentini ikkita teng segmentga boʻling: va . Isbot Ulardan kamida bittasini dan chekli intervalli quyi tizim qamrab olmaydi. Keling, uni deb nomlaymiz va buning uchun ikkiga bo'linish jarayonini takrorlaymiz. Isbot Har bir bosqichda segmentlarni yarmiga bo'lishda davom etib, biz uzunligi nolga moyil bo'lgan ichki o'rnatilgan segmentlar ketma-ketligini olamiz, shunday qilib, bu ketma-ketlikning har bir segmentini dan chekli sonli intervallar bilan qoplab bo'lmaydi. Isbot Ammo agar segmentlar qisqarish nuqtasi bo'lsa, u holda segmentda yotganligi sababli, u tizimining qandaydir intervalga kiritilishi kerak . Isbot Keyin ketma-ketlikning barcha segmentlari, qaysidir sondan boshlab, oraliq bilan qoplanadi, bu esa ushbu segmentlarning tanlanishiga zid keladi. Olingan qarama-qarshilik Geyne-Borel lemmasining to'g'riligini isbotlaydi. 1. Umumiy qoidalar. Ish muqobil toʻplamlar nazariyasi aksiomatikasi boʻyicha olib borilgan va Aptorning ushbu nazariya doirasida matematik tahlil asoslarini asoslash boʻyicha maqolalari turkumini davom ettiradi. Barcha pierdaylar qurilgan poydevor tuzilmalari, ratsional sonlar sinfi Q. NCQ natural sonlar sinfi boʻlsin. ACN ning bo‘sh bo‘lmagan kichik sinfini if (Va ê Al a C A.) segmenti deb ataymiz, ya’ni u N sinfining boshlang‘ich qismidir.N ustida berilgan amal, agar ixtiyoriy aÊ A uchun to'g'ri bo'lsa. A. Xususan, agar amal qo'shish bo'lsa, u holda ko'paytirish ko'paytma bo'lsa, segment qo'shimcha deb ataladi. Kiritilgan segmentga asoslanib, biz sinfni aniqlaymiz BQ(A) Q (Ja A foydalanamiz:(2~4y) ((VA) - Agar A segmenti qo'shimcha bo'lsa, u holda tuzilgan munosabat relyatsion spinLTOUTHO hisoblanadi.Ish muqobil to'plam nazariyasida olib boriladi. Aksiomatikadagi har bir giper-roal tuzilma N sinfidagi natural sonlar kesimiga asoslanadi. Muallif klassik Geyn-Borel lemmasining strukturaga to‘g‘ri kelishining zarur va yetarli sharti uning asosiy kesimining multiplikativligi ekanligini isbotlaydi. Keling, uni A segmenti tomonidan yaratilgan giperreal tuzilma deb ataymiz. Bizning muhokamamizning asosiy mavzusi segmentga qanday talablar qo'yish kerakligi haqidagi savolni o'rganish bo'lib, u tomonidan yaratilgan giperreal tuzilma imkon qadar sinfga o'xshash bo'lishi kerak. haqiqiy raqamlar. Ushbu ishda biz ko'rsatamizki, agar to'plam multiplikativ bo'lsa, u holda Geyne-Boreli siqish R da haqiqiy deb hisoblanishi mumkin, ya'ni. chegaralangan segmentning har qanday ochiq qoplamasidan chekli (ma'lum ma'noda) pastki qoplamani tanlash mumkin. 1. Limit haqida tushuncha Limit (lot. Limes — chek, chegara) — matematikaning muhim tushunchalaridan biri. Agar bir oʻzgaruvchiga bogʻliq ikkinchi oʻzgaruvchi birinchi oʻzgaruvchining oʻzgarish jarayonida a songa cheksiz yaqinlashsa, a soni ikkinchi oʻzgaruvchi miqdorning limiti deyiladi. Bu yerda limit tushunchasi oʻzgarish va cheksiz yaqinlashish jarayoni haqidagi tasavvurga bogʻliq. limitning aniq matematik taʼrifi 19-asrboshlarida shakllandi. Natijada matematikada yangi usul — limitlar usuli paydo boʻldi. Bu usulning tatbiqi va rivoji differensial hisob va integral hisobning yaratilishiga, matematik analizning vujudga kelishiga olib keldi. «lim» belgi qisqartirilgan lotincha «Limes» so’zining birinchi uchta harifidir, u o’zbek tilida marra, chegara (limit) ma’nosini anglatadi. Limit nazariyasida limitlarning xossalari tekshiriladi, oʻzgaruvchi miqdor limitning mavjud boʻlishi shartlari oʻrganiladi, bir necha sodda oʻzgaruvchi miqdorlarning limitlarini bilgan holda murakkab funksiyalar limitlarini qisob-lashga imkon beradigan qoidalar topiladi. Limitnazariyasining asosiy tushunchalaridan biri cheksiz kichik — limiti nolga teng boʻlgan oʻzgaruvchi miqdor tushunchasi. L. nazariyasining yaratilishiga I. Nyuton, J. D’Alamber, L. Eyler, O. Koshi, K. Veyershtrass, Bolsanolar katta hissa qoʻshishgan. Limit ni hisoblashda ma'lum bir aniq emasliklar mavjud, 1) 0/0 2)cheksiz/cheksiz 3) cheksiz + cheksiz 4) cheksiz - cheksiz. Shunga o'xshash aniq mesliklar uchun LopitalLopital qoidasi ni qo'llash mumkin. Unga ko'ra hisoblashda ushbu aniq emaslikka duch kelinsa toki aniqmaslik yo'qolmaguncha ketmaket hosila olish mumkin. Limitlar haqidagi teoremalar Limit teoremalar - ehtimollar nazariyasipy tasodifiy miqsorlar ketma-ketligi %p ning p cheksizlikka intilishidagi xususiyatlari haqidagi teoremalar. Limit teoremalar ehtimollar nazariyasining asosiy natijalarini bayon etish shaklidir. Katta sonlar qonuni, markaziy limit teorema, takroriy logarifm qonuni Limit teoremalarning xususiy hollaridir. Bu fakt dastlabki Limit teoremalardan boʻlib, Muavr — Laplas teoremasi deyiladi. Funksiyaning limiti haqidagi asosiy teoremalar (yigindi, kopaytma, bolinma haqidagi) ketma-ketlik limitlarining teoremalariga oxshash funksiyaning limitini hisoblashni ham osonlashtiradi. 1- teorema. Funksiyalar yigindisining (ayirmasining) limiti shu funksiyalar limitlarining yigindisiga(ayirmasiga) teng: 2- teorema. Funksiyalar kopaytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining kopaytmasiga teng: Natija. Ozgarmas kopaytuvchini limit ishorasining oldiga chiqarish mumkin 3- teorema. Funksiyalar bolinmasining limiti shu funksiyalar limitlarining bolinmasiga teng, qachonki, boluvchi funksiyaning limiti noldan farqli bolganda: 4- teorema. Agar va funksiyalari uchun a nuqtaning biror oraligida tengsizliklar bajarilib, bolsa u holda bo`ladi. Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega. 3. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari. Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega. Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta ning limit nuqtasi bo‘lsin. 1- xossa. Agar da funksiya limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi. Bu xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik limitining yagonaligidan kelib chiqadi. 2- xossa. Agar ( – chekli son) bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda funksiya chegaralangan bo‘ladi. Funksiya limiti ta’rifga binoan ya’ni bo‘ladi. Keyingi tengsizliklardan funksiyaning nuqtaning atrofida chegaralanganligi kelib chiqadi. 3- xossa. Agar bo‘lib, bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda bo‘ladi. Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra uchun shunday son topiladiki, , , uchun bo‘ladi. Bu esa da bo‘lishini bildiradi. Faraz qilaylik, va funksiyalar to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra ga intiluvchi ixtiyoriy. Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2) munosabatlardan , ya’ni bo‘lishini topamiz. ► 5-xossa. Faraz qilaylik, limitlar mavjud bo‘lsin. Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar bajarilishi haqidagi ma’lumotlardan kelib chiqadi. • Agar ixtiyoriy musbat 𝜀 son uchun 𝓍 = 𝓍 0 nuqtani o’z ichiga olgan shunday interval ko’rsatish mumkun bo’lsaki, bu intervalning 𝓍 = 𝓍 0nuqtadan tashqari hamma yerida | 𝒻 𝓍 − 𝑙 | < 𝜀 tengsizlik bajarilsa, 𝑙 soni 𝒻 𝓍 funksiyaning 𝓍 ning 𝓍 0 ga intilgandagi limiti deyiladi va • lim 𝓍 → 𝓍 0 𝒻 𝓍 = 𝑙 ko’rinishda yoziladi. Yüklə 383,85 Kb. Dostları ilə paylaş:
|