Mat-analiz pdf

bo‘lagi shu egri chiziqqa M(x0,f(x0)) nuqtasidan o‘tkazilgan 
urinmadan pastda (yuqorida) joylashsa, u holda f(x) 
funksiya x=x0 nuqtada qavariq (botiq) deyiladi. 
 
Agar egri chiziq biror intervalning barcha nuqtalarida 
qavariq (botiq) bo‘lsa, u holda bu chiziq shu intervalda 
qavariq (botiq) deyiladi. 
Egri chiziq nuqtasining ordinatasini y bilan, shu egri 
chiziqqa M(x0,f(x0)) nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning x ga 
mos ordinatasini Y bilan belgilaylik. Ravshanki, agar x0 
nuqtaning biror atrofidan olingan barcha x lar uchun y-Y 
 
0 (y-Y 
0) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda egri chiziq x=x0 
nuqtada qavariq (botiq) bo‘ladi. (31-, 32-chizmalar) 
1-teorema. Faraz qilaylik, f(x) funksiya X oraliqda 
aniqlangan va x0
X nuqtada ikkinchi tartibli hosilasi 
mavjud bo‘lsin. Agar f’’(x0)>0 bo‘lsa, u holda funksiya 
grafigi x0 nuqtada botiq; agar f’’(x0)<0 bo‘lsa, u holda 
funksiya grafigi x0 nuqtada qavariq bo‘ladi. 
 
Isboti. Faraz qilaylik f’’(x0)>0 bo‘lsin. Quyidagicha 
yordamchi funksiya kiritamiz: F(x)=y-Y, ya’ni F(x)=f(x)- 
f(x0)-f’(x0)(x-x0). Ravshanki F(x0)=0, F’(x)=f’(x)-f’(x0), 
F’’(x)=f’’(x) bo‘ladi. Bundan F’(x0)=f’(x0)-f’(x0)=0 va 
F’’(x0)=f’’(x0)>0 ekanligi kelib chiqadi. Demak, (ekstremum 
mavjudligining yetarli shartiga ko‘ra) x0 nuqta F(x) 
funksiyaning minimum nuqtasi bo‘ladi, ya’ni x0 nuqtaning 
biror atrofida F(x)
F(x0)=0 bo‘ladi. F(x)=y-Y 
bo‘lganligidan y Y tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu esa x0 

---

nuqtaning aytilgan atrofida funksiya grafigi urinmadan 
yuqorida joylashishini, ya’ni funksiya grafigi x0 nuqtada