A simple relativistic Bohr atom

F
=
m
1
−
v
2
/c
2
d
v
d
t
.
(1
a
)

---

A simple relativistic Bohr atom
737
For circular motion
d
v
d
t
=
d
(rω
ˆ
e
ϕ
)
d
t
=
rω
d ˆ
e
ϕ
d
t
=
rω
d
(
−
sin
ϕ
ˆ
x
+ cos
ϕ
ˆ
y)
d
t
=
rω
d
ϕ
d
t
(
−
cos
ϕ
ˆ
x
−
sin
ϕ
ˆ
y)
= −
v
2
r
ˆ
e
r
,
and the relativistic force causing the circular motion of the electron has the following form:
F
=
m
1
−
v
2
/c
2
d
v
d
t
= −
mv
2
r
1
−
v
2
/c
2
ˆ
e
r
.
(1
b
)
In the hydrogen atom the physical origin of this force is the electrostatic attraction from the
fixed nucleus. Hence the Coulomb force should be equal to the force needed for the circular
motion with constant speed.
It is well known in the special theory of relativity (actually an experimental fact) that
Coulomb’s law is unchanged for a moving charge ]. In other words,
Coulomb’s law is valid
for a moving charge,
even if its speed is approaching the speed of light, provided the source
charge (here the nucleus) is at rest.
By equating these forces (i.e. the centripetal force and the electrostatic force) we get a
relation between the radius of the circular orbit and its speed:
e
2
r
2
=
mv
2
r
1
−
v
2
/c
2
⇒
e
2
r
=
mv
2
1
−
v
2
/c
2
.
(2)
We work with the CGS system of measurement, where the Coulomb force has a unity
coefficient. Then we follow Bohr’s treatment using the quantization of the angular momentum
(
|
l
| =
¯
hn
, where
n
is a positive integer). Hence the orbit of the electron is described by the
equation
|
l
| = |
r
× 
p
| =
r
ˆ
e
r
×
mv
ˆ
e
ϕ
1
−
v
2
/c
2
=
mvr
ˆ
z
1
−
v
2
/c
2
=
mvr
1
−
v
2
/c
2
=
¯
hn.
(3)
By combining equations speed, in various orbits specified by the quantum number
n:
v
n
=
e
2
¯
h
1
n
,
(4)
which is
identical
to the expression found by Bohr in the classical treatment ]. We
can use this expression to check the validity of the classical treatment.
We easily find
that the relativistic treatment give minor corrections (i.e. it is in most cases practically
unnecessary).
The reason is that
v
n
=
e
2
/
¯
hn
=
ce
2
/c
¯
hn
, which shows that the speed
of the electron is, even for the smallest
n
(
=
1), much smaller than the speed of light (as
α
[fine-structure constant]
≡
e
2
/
¯
hc
∼
1
/
137
.
036 and
v
n
/c
=
α/n
∼
1
/
137
.
036
n
).
Then the radius of each circular orbit is found using either equation r
n
=
¯
h
2
me
2
n
n
2
−
α
2
=
a
0
n
n
2
−
α
2
,
(5)
where
α
is the fine-structure constant and
a
0
≡
¯
h
2
/me
2
is the first Bohr orbit for hydrogen,
usually called the hydrogen-atom Bohr radius (symbolized as
a
0
[
≈
0
.
529 ˚
A] in most
textbooks).

---

738
A F Terzis
Practically, because of the small value of
α
2
∼
0
.
000 0533 and especially for large values
of the quantum number
n
, the expression for the radius of the circular orbits is almost identical
(derived from equation (
5
), assuming
√
n
2
−
α
2
∼
n
) to the one found in the classical treatment
(
r
n
=
a
0
n
2
).
Our last step is to find the total energy of the system, using the relativistic expressions.
As the nucleus is assumed stationary the total energy of the hydrogen atom (bound state of the
electron–proton system) is
E
=
Mc
2
+
mc
2
/
1
−
v
2
/c
2
−
e
2
/r
Equation
(
2
)
−−−−−−−−−→
E
=
Mc
2
+
mc
2
/
1
−
v
2
/c
2
−
mv
2
/
1
−
v
2
/c
2
=
Mc
2
+
mc
2
1
−
v
2
/c
2
Equation
(
4
)
−−−−−−−−−→
E
n
=
Mc
2
+
mc
2
(
1
−
α
2
/n
2
)
1
/
2
.
(6)
As
α/n
1, even for the lowest value of
n
, we can expand equation (
6
) and keep the lowest
term. In this case we get
E
n
Mc
2
+
mc
2
(
1
−
α
2
/
2
n
2
)
=
Mc
2
+
mc
2
−
me
4
/
2¯
h
2
n
2
,
(6
a
)
which, after subtracting the energies describing the relativistic rest mass energies, is identical
to the expression found in the standard ‘classical’ derivation (third term in equation (
6
a
)).
Hence, the relativistic correction is
E
n
−
Mc
2
−
mc
2
(
1
−
α
2
/
2
n
2
)
=
mc
2
[
(
1
−
α
2
/n
2
)
1
/
2
−
(
1
−
α
2
/
2
n
2
)
]
,
(6
b
)
with the most important correction term given by the second term in the Taylor expansion of
the square root term being equal to
−
mc
2
α
4
/
8
n
4
.
3. Hydrogen-like atoms
The classical Bohr model is valid for any hydrogen-like atom [
7
,
8
], i.e. for any atom with
one electron and a nucleus with atomic number
Z
(number of protons). Obviously, these
one-electron atoms are ions with total charge of (
Z
−
1)
e
(the only neutral hydrogen-like atom
is hydrogen). These ions can be found in nature, for example on the surface of the sun or other
stars, or they are produced in the lab as uranium hydrogen-like ions [
9
]. Since the early days
of atomic physics, it has been shown experimentally that the classical Bohr model predicts
correctly the spectra of the three lightest hydrogenic ions, helium (He
+
), lithium (Li
2+
) and
beryllium (Be
3+
) [
10
]. In this section, we extend the previously presented relativistic model
for the hydrogen-like atoms. In the theoretical treatment of the hydrogenic atoms, basically
we have to change the expression in the Coulomb force from
e
2
/r
2
to
Ze
2
/r
2
; then the speed
becomes (combining the modified equation (
2
) and equation (
3
))
v
n
=
Ze
2
/
¯
hn
=
Zαc/n
(hence for large
Z,
at least the first orbit
n
=
1 can approach the speed of light). Then the
radius is modified as
r
n
=
a
0
n
√
n
2
−
Z
2
α
2
/Z
(now for the first orbit and for
Z >
1
/α
we get
a square root of a negative number), and the total energy is
E
n
=
Mc
2
+
mc
2
1
−
Z
2
α
2
/n
2
(again, for the first orbit and for
Z >
1
/α
we get a square root of a negative number).
The significance of the relativistic treatment can be illustrated in class with the example
of ionization energy. Hence for the hydrogen atom (
Z
=
1) the prediction of the classical
and the relativistic model is practically identical. But for Ag (silver,
Z
=
47), the classical
model predicts an ionization energy of 30.0534 keV and the relativistic model an energy of
30.9824 keV, almost 1 keV larger (3.1% relative difference). For heavier atoms such as Hg
(mercury,
Z
=
80) the energies are 87.072 keV and 96.0738 keV, with a relative difference
of greater than 10%. For even heavier ions the relative difference can be close to 20%, as

---

A simple relativistic Bohr atom
739
for example for Fm (fermium,
Z
=
100), with energies of 136.02 keV and 161.614 keV,
respectively.
A final example, revealing the significance of the relativistic treatment, is related to the
radius of the atom. The size (diameter) of the nucleus is in the range of 1.6 fm (fm
=
10
−
15
m)
(for a proton in light hydrogen) to about 15 fm (for the heaviest atoms, such as uranium).
These dimensions are much smaller than the size of the atom itself by a factor of about 23 000
(uranium) to about 145 000 (hydrogen). When we apply the relativistic model the circular
orbit of the uranium hydrogen-like ion has a radius of 426 fm. In this case the electron is now
much closer to the nucleus and the finite size of the nucleus should be accounted for.
The expressions found for the velocity, radius and energy of the hydrogen-like atoms
suggest that, in order not to contradict special relativity (speed of electrons higher than speed
of light) or not to achieve square roots of negative numbers (implying imaginary radius and
energy), the quantity
Zα
should be smaller than unity. Hence, the relativistic version of
Bohr’s model for the hydrogen-like ions suggests that
Z <
1
/α
∼
137. This relation sets an
upper limit on the atomic number of atoms in nature. This is in agreement with present-day
experimental facts, since the largest observed atom has an atomic number of 118 (Ununoctium,
discovered in 2006)
1
.
Finally, it becomes obvious from the energy expression that the relativistic model predicts
a very different spectrum for the hydrogen-like ions with very heavy nuclei (large
Z
). Today
it is an experimental fact that these deviations from the classical model are found even for not
very large ions, such as, for example, gallium with atomic number
Z
=
31 [
11
].