A simple relativistic Bohr atom

Figure 1.
Definition of polar coordinates
(r, ϕ)
and unit vectors
(
ˆ
e
r
,
ˆ
e
ϕ
)
used in circular motion of
the electron in the H-atom. The
z
-axis is perpendicular to the plane of circular motion, with unit
vector ˆ
z
=
ˆ
x
×
ˆ
y
=
ˆ
e
r
×
ˆ
e
ϕ
.
ordinary law of classical (here relativistic) mechanics and (c) the various stationary states, in
the case of circular orbits, are determined by the condition that the angular momentum of the
electron revolving around the nucleus is an integer multiple of ¯
h
.
2. Hydrogen atom
Initially, we focus on the hydrogen atom. The generalization for any hydrogen-like atom is
straightforward and it will be presented in the next section.
In the following procedure, as the mass of the nucleus (proton) is much larger than the
mass of the electron, it is assumed that the nucleus is not moving. The relativistic law of the
rate of change of the momentum of the moving electron is given by the well-known relativistic
expression
F
=
d
p
d
t
=
d
d
t
m
v
1
−
v
2
/c
2
,
(1)
where
m
is the rest mass of the electron
(mc
2
≈
511 keV
)
,
v
is the velocity of the electron,
v
≡ |
v
|
is the speed of the electron and
F
is the force on the electron. Following Bohr’s
assumptions, we accept circular orbits with constant angular frequency
ω
(i.e.
ω
=
˙
ϕ
=
d
ϕ/
d
t
and the speed is constant given by the expression
v
=
ωr
). In this model, once we assume
circular orbits (constant radius,
r
), the angular frequency should be constant as otherwise
F
=
d
p/
d
t
= −
(
1
−
v
2
/c
2
)
−
1
/
2
r(
d
ϕ/
d
t )
ˆ
e
r
+
(
1
−
v
2
/c
2
)
−
3
/
2
r(
d
2
ϕ/
d
t
2
)
ˆ
e
ϕ
has a part (second
term) which is not compensated by the centripetal force (parallel to
−
ˆ
e
r
; for the definition of
the unit vectors, ˆ
e
r
and ˆ
e
ϕ
, see figure
1
). Moreover, if the angular frequency is not constant,
the angular momentum will be time dependent
|
l
| =
m(
1
−
r
2
(
d
ϕ/
d
t )
2
/c
2
)
−
1
/
2
r
2
(
d
ϕ/
d
t )
, as
d
ϕ/
d
t
is time dependent and it cannot be equal to a constant
(
¯
hn)
.
In this case the speed is time independent; equation (
1
) can be written as