A simple relativistic Bohr atom

6. Quantum mechanical treatment of one-electron atoms
The correct treatment of the hydrogen and hydrogen-like atoms corresponds to a quantum
mechanical one.
The Bohr model is an important first step.
But basic assumptions of
the Bohr model are completely contrary to the basic premises of quantum mechanics. For
example, the ground state orbital angular momentum of the H-atom is zero according to
quantum mechanics rather than ¯
h
(Bohr’s model for
n
=
1). In the quantum mechanical
treatment the starting point is the Schr¨odinger equation for the one-electron atom, which is
well known and presented in all quantum mechanics textbooks [
19
–
24
]. The simple form
of the eigenenergies found for the H-atoms and H-like atoms can be explained by means
of the dynamic symmetry, a very useful method in atomic and nuclear physics [
25
–
27
].
Actually, the non-relativistic hydrogen atom consists the oldest example of a dynamic
symmetry application in quantum mechanics [
18
]. It has been shown that the H-atom has a
four-dimensional space O(4) symmetry. The Hamiltonian can be written in terms of one of
the Casimir operators of an algebra, O(4), whose elements are the three components of the
angular momentum and the three components of the Runge–Lenz vector. The presence of
this dynamic symmetry manifests itself in the closed form of the energy eigenvalues which
produces a regular pattern of energy levels and in the occurrence of degeneracies in addition
to those due to rotational invariance.
Although the energy levels obtained from the standard H-atom Hamiltonian, which
includes the kinetic and potential energy terms, are in good agreement with experiment, the
very precise measurements carried out in atomic physics demonstrate the existence of several
effects which cannot be derived from this Hamiltonian and require the addition of correction
terms [
28
,
29
]. First, it introduces the relativistic correction to the kinetic energy (i.e. the most
significant term in the expansion of the relativistic kinetic energy, proportional to the fourth
power of the momentum). The next important correction is the spin–orbit interaction, which
describes the interaction of the electron’s spin with its motion (angular momentum), detectable
as a splitting of spectral lines. The Lamb shift is another subtle effect, which is an energy
shift that is explained in the context of quantum electrodynamics, and can be interpreted as
the influence of virtual photons that have been emitted and re-absorbed by the atom. Then,
it appears the Darwin term. The physical origin of the Darwin term is a phenomenon in
relativistic Dirac theory called zitterbewegung, whereby the electron does not move smoothly
but instead undergoes extremely rapid small-scale fluctuations, causing the electron to see a
smeared-out Coulomb potential of the nucleus [
28
].
Finally, we consider various small corrections such as the hyperfine structure splitting and
the volume effect, which take into account the fact that the nucleus is not simply a point charge,
but has a finite size, and may possess an intrinsic angular momentum (spin), a magnetic dipole
moment, an electric quadrupole moment and so on [
28
]. The inclusion of these effects gives
an improvement in the agreement between theory and experiment to about seven significant
digits. A further improvement is achieved when a quantization of the internal electric and
magnetic fields is included. The corrections due to these effects bring agreement to the higher
significant digits (8 or 9), which is the limit of accuracy of current measurement techniques.
The Schr¨odinger equation is based on a non-relativistic ansatz, i.e. it is invariant under
Galilei transformation, but not under Lorentz transformation. In order to obtain a relativistic
wave equation we start with the relativistic relation between the energy, the momentum and
the mass of a particle. The correct relativistic equation for the electron in hydrogenic atoms is
the Dirac equation, which in addition includes spin property [
30
–
32
].
Closing, we recall that it is well known in the scientific community that the correct
approach to the hydrogen-like atoms is not a semi-classical one (except for large quantum

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A F Terzis
number [
33
]), but a quantum mechanical one in which all properties and interactions of the
electron and proton should be considered [
34
–
36
].