A simple relativistic Bohr atom

4. Nucleus with finite mass and non-zero velocity
Finally, we discuss the case where the mass of the nucleus is not infinite. This is a very
complicated case as in the relativistic model it is not possible to follow the classical treatment
by introducing the reduced mass. This can be seen easily as d
p/
d
t
=
d(m
v/
1
−
v
2
/c
2
)/
d
t
;
it can never take the form of d
2
r/
d
t
2
, which is the starting point for obtaining a simple
differential equation of the relative position vector (
r
e
− 
r
nucleus
). Moreover, the reduced mass
method cannot be carried on, as when the nucleus has a finite mass, it will certainly be moving,
and hence it will produce an electric and a magnetic field, resulting in forces on each particle
that are not of equal magnitude and opposite sign. These arguments are explained in detail for
the hydrogen atom in the following paragraphs.
We start with a short review of the reduced mass method. Newton’s law for the acceleration
of the electron and the proton (with rest mass
M
) is described by the equations
m
d
2
r
e
d
t
2
= 
F
e
−
p
and
M
d
2
r
p
d
t
2
= 
F
p
−
e
, where the forces
F
e
−
p
(electrostatic force on the electron due to the
proton) and
F
p
−
e
(electrostatic force on the proton due to the electron) are opposite forces
(action–reaction). By eliminating the masses from the left-hand side of each equation and
subtracting the two equivalent equations we get
d
2
r
e
d
t
2
−
d
2
r
p
d
t
2
=
F
e
−
p
m
−
F
p
−
e
M
=
1
m
+
1
M
F
e
−
p
⇒
mM
M
+
m
d
2
(
r
e
− 
r
p
)
d
t
2
= 
F
e
−
p
.
This equation shows that the relative position vector of the electron with respect to the proton
has a motion caused by the electron–proton electrostatic force but for an equivalent mass,
1
A complete and updated periodic table of elements can be found in the web page of the chemistry division at the
Los Alamos National Laboratory (
http://periodic.lanl.gov/default.htm
). In this table one can find, interactively, the
history, properties, resources, uses, isotopes, forms and other information for each element.

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A F Terzis
mM/(M
+
m)
, called reduced mass. In addition, in the relativistic version of Bohr’s atom,
the equations of motion are very different. The reason is that in the case of both charges
moving, apart from the electric fields, magnetic fields are also introduced. The equations
become [
12
]
d
d
t
m
v
e
1
−
v
2
e
/c
2
= −
e(
E
p
+
v
e
× 
B
p
)
(7)
d
d
t
⎛
⎝
M
v
p
1
−
v
2
p
/c
2
⎞
⎠
=
e(
E
e
+
v
p
× 
B
e
),
where
E
p(e)
and
B
p(e)
are the electric and magnetic fields created by the proton (electron).
The expressions for the electric and magnetic fields are quite complicated since retardation
effects, originating from the finite speed of propagation of any interaction in nature, become
important at high velocities [
13
]. The right-hand terms are not of the form of action and
reaction as in classical mechanics. The absence of opposite forces on the right-hand side of
the equations of motion is another reason why the reduced mass method cannot be applied in
the relativistic version of Bohr’s model.
A first attempt to study this problem appeared in [
14
], with a much larger nucleur mass
and few terms in the expansion of the complicated expression for the forces.
Another attempt to study the relativistic corrections was presented in [
15
], but results and
predictions for the H-like atoms were not emphasized.