A simple relativistic Bohr atom

5. Elliptic orbits in the semi-classical model
It is well known that in all atomic spectra that splitting of the spectral lines into several distinct
components can be observed, and is termed fine structure [
16
,
17
]. In an effort to explain
this fine structure, Sommerfeld assumed that the electron could move in elliptic orbits. He
evaluated the size and shape of the elliptical orbits and the energy of these orbits by applying
the laws of the classical mechanics and the generalized quantization rules that he proposed
with Wilson in 1916 (the Wilson–Sommerfeld quantization rules, which include both Bohr
quantization for the H-atom and Planck quantization for the harmonic oscillator as special
cases). The generalized quantization rules introduced two quantum numbers: the principal
and the azimuthal one. The relationship between these two quantum numbers determines
the shape of the elliptic orbits with the special case of the circular orbit corresponding to
equal quantum numbers. Sommerfeld found that despite the very different paths followed by
an electron moving in the elliptical orbits, they all show the same total energy provided the
principal quantum number is the same (i.e. all orbits with given principal quantum number are
degenerate, with degeneracy equal to the azimuthal quantum number) [
16
]. This degeneracy
in the total energy is the result of a very delicate balance between potential and kinetic energy,
which is a characteristic for the inverse square law of force. Actually, this degeneracy and the
simple form of the energy spectrum of the non-relativistic hydrogen atom have been explained
in terms of the dynamic symmetry approach [
18
].
Sommerfeld removed the degeneracy of the elliptic orbits by treating the problem with
the theory of relativistic mechanics [
14
,
16
]. In the context of the relativistic model the fine
structure of the hydrogen spectrum has been explained partially. However, a full explanation
of the atomic spectrum had to wait for a quantum mechanical treatment.

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A simple relativistic Bohr atom
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