A simple relativistic Bohr atom

---

IOP P
UBLISHING
E
UROPEAN
J
OURNAL OF
P
HYSICS
Eur. J. Phys.
29
(2008) 735–743
doi:10.1088/0143-0807/29/4/008
A simple relativistic Bohr atom
Andreas F Terzis
Department of Physics, University of Patras, Patras, GR-26504, Greece
Received 4 March 2008, in final form 13 May 2008
Published 9 June 2008
Online at
stacks.iop.org/EJP/29/735
Abstract
A simple concise relativistic modification of the standard Bohr model for
hydrogen-like atoms with circular orbits is presented. As the derivation requires
basic knowledge of classical and relativistic mechanics, it can be taught in
standard courses in modern physics and introductory quantum mechanics. In
addition, it can be shown in a class that one straightforward prediction of this
relativistic version of Bohr’s model is the impossibility of finding atoms in
nature with atomic number larger than a critical value.
1. Introduction
The standard textbooks in modern physics and introductory quantum mechanics treat Bohr’s
atom semi-classically [
1
–
3
], which is the way Bohr presented his theory in his historic papers
investigating the hydrogen atom and other hydrogenic atoms [
4
]. Bohr, in his study of the
H-atom, studied the motion of the single electron around the assumed fixed nucleus classically
(i.e. applied Newton’s classical mechanics). But in order to perform an investigation based
on classical mechanics, one either needs to know in advance that the speed of the moving
electron is much smaller than the speed of light or perform the calculation classically and then
check to ensure that the result is consistent with the assumption. Moreover, in class, during
the presentation of the standard Bohr model, the question of a relativistic treatment may arise.
Actually, this is the most appropriate time for presenting a relativistic model for Bohr’s atom
in class, as special relativity is usually taught in the previous or same semester, either as an
individual course or as part (the very first lessons) of a modern physics course [
5
].
In this paper we present a concise derivation of the predictions of Bohr’s theory, describing
the dynamics of the atoms using special relativity. We treat both the hydrogen atom (the
simplest atom in nature) and hydrogenic atoms (ions of one electron with a complex nucleus).
For the hydrogen atom, it is shown that for most practical cases the main results do not
differ appreciably from the findings of the classical model. In contrast, it is revealed that
for hydrogen-like atoms with heavy nuclei, the predictions of the relativistic model differ
significantly compared to the prediction of the classical Bohr model.
In the development of this relativistic approach, we assume all Bohr’s basic assumptions
are valid [
1
–
4
]. Hence, (a) radiation is not emitted or absorbed as expected from classical
electrodynamics for accelerated charges, (b) the dynamics of the system is determined by the
0143-0807/08/040735+09$30.00
c

2008 IOP Publishing Ltd
Printed in the UK
735

---

736
A F Terzis
ˆe
ϕ
r
r
ˆe
ϕ
ω
=
ϕ.