Qatоrlar. Sоnli qatоrlarning yaqinlashish alоmatlari. Sоlishtirish, Dalambеr, Kоshi, Kоshining intеgral alоmatlari. Lеybnits qatоri. Shartli va absоlyut yaqinlashish. Reja

Funktsional qatorlar


1. Funktsional qatorlar haqida tushuncha. Yaqinlashuvchi funksional qatorlar
Ushbu
(1)
ifodaga funktsional qator deb ataladi. Bu yerda D to`plamda aniqlangan funksiyalar. x ning (1) qator yaqinlashuvchi bo`ladigan barcha qiymatlar to`plamami  ( D) funtsional qatorning yaqinlashish sohasi deb ataladi.
yig`indi funktsional qatorning n-qismiy yig`indisi deb ataladi. Agar
,
bo`lsa, S(x) (1) qator yig`indisi, R<sub>n</sub>(x) = S(x) - S<sub>n</sub>(x) ayirma esa qator qoldig`i deyiladi.
Agar S(x), funksiya (1) qatorning yig`indisi bo`lsa, u holda (1) funtsional qator L to`plamda S(x) funksiyaga yaqinlashadi deyiladi.
Agar ixtiyoriy soni uchun shunday N nomer topilsaki, n N bo`lganda barcha uchun

bajarilsa, (1) funktsional qator L to`plamda S(x) funksiyaga tekis yaqinlashadi deyiladi.
Agar funktsional qator L to`plamda yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda qator bu to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`lishi shart emas, ammo L to`plamning biror bir to`plam ostida yaqinlashishi tekis bo`li-shi mumkin.
Funktsional qatorning tekis yaqinlashuvchi bo`lishining Veyersht-rass alomati.
Agar (1) funktsional qator uchun hadlari musbat shunday yaqinla-shuvchi qator mavjud bo`lib, L to`plamda

bo`lsa, u holda funktsional kator L to`plamda tekis yaqinlashadi.
Misol. Ushbu

funktsional qator to`plamda tekis yaqinlashadi, chunki va yaqinlashuvchidir.
2. Funktsional qator yig`indisining funktsional xossalari
Funktsional qator yig`indisining quyidagi funktsional xossalarini keltiramiz:
1) Agar funksiyalar [a,b] da uzluksiz bo`lib, bu funksiyalardan tuzilgan ushbu
f₁(x) + f₂(x) + ... + f_n(x) + ...
funktsional qator bu oraliqda f (x) funksiyaga tekis yaqinlashsa:
a) f (x) funksiya [a,b] oraliqda uzluksiz;
b) [a,b] oraliqda funktsional qatorni hadma-had integrallash mumkin bo`ladi:

Misol. Ushbu
1 + x + x + ... + x^n-1 + ...
funktsional qator [0, ] oraliqda funksiyaga tekis yaqinlashadi. Demak,

yoki

2) Agar f_n(x) funksiyalar [a,b] oraliqda uzluksiz hosilalarga ega va bu oraliqda:
a) ushbu

funktsional qator funksiyaga yaqinlashsa;
b) ushbu

funktsional qator tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda [a,b] intervalda funksiya uzluksiz hosilaga ega bo`ladi: