Qatоrlar. Sоnli qatоrlarning yaqinlashish alоmatlari. Sоlishtirish, Dalambеr, Kоshi, Kоshining intеgral alоmatlari. Lеybnits qatоri. Shartli va absоlyut yaqinlashish. Reja

a₁≥ a₂≥ a₃≥…≥ a_n … (2)
hamda qatorning umumiy hadi a_n nolga intilsa, ya`ni
(3)
bo`lsa, (1) qatorning yig`indisi uchun
0 ≤ s ≤ a<sub>1</sub> (4)
tengsizlik bajariladi hamda berilgan qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
Isboti: Berilgan qatorning juft va toq nomerli hadlarining alohida-alohida xususiy yig`indilarini topamiz. U holda, juft nomerli hadlari yig`indisi


S_2n=a₁- a₂+ a₃- a₄+…+ a_2n-1­­- a_2n=(a₁- a₂)+( a₃- a₄)+…+ (a_2n-1- a_2n). (5)

(2) ketma – ketlik manfiy bo`lmaganligi sababli, S_2n ≥ 0 dir. Bundan tashqari,

S_2n+2= S_2n+ (a_2n+1- a_2n+2) ≥ S_2n (6)

bo`lganligi uchun n→∞ da S<sub>2n</sub> kamayuvchi bo`lmaydi.

S_2n xususiy yig`indini quyidagicha ham ifodalash mumkin:
S_2n=a₁-( a₂ - a₃)-…-( a_2n-2 - a_2n-1)- a_2n (7)

Qavslar ichidagi ayirmalar va a_2n lar manfiy bo`lmaganliklari sababli

s_2n≤ a_{1 .}
Demak, juft nomerli hadlarning xususiy yig`indisi kamayuvchi bo`lmaganligi hamda yuqoridan chegaralanganligi uchun u limintga ega, ya`ni:
(8)
Qatordagi toq nomerli hadlarning xususiy yig`indisi uchun quyidagi o`rinlidir.
s_2n+1 = s_2n+ a_2n+1
Bundan,
(9)

U holda, quyidagi ham o`rinli bo`ladi: s_n =s (10)

s_2n ≥0 bo`lganligi uchun s ≥0, n>1 da s_2n ≤ a₁-( a₂ - a₃)=b₁

Bundan, 0 ≤ s= s_­n ≤ b ≤ a_1.

Teorema isbot bo`ldi.

Misol.
qator yaqinlashishini Leybnits alomati yordamida tekshiring.
Yechilishi: Berilgan ishorasi almashinuvchi qator kamayuvchidir, ya`ni:

n→∞ da a_n ning limiti nolga intiladi, ya`ni



Demak, Leybnits alomatidagi shartlar bajariladi. U holda, berilgan qator yaqinlashuvchi bo`ladi.