Mélyfúrási geofizika Balázs László

(4.8a.)
,
(4.8b.)
,
(4.8c.)
,
ahol k, m integrálási állandók. A 4.8.c. egyenlet Bessel-féle differenciálegyenlet, melynek megoldásai a k-ad rendű
Bessel-függvények. Az általános megoldás a Laplace-egyenletet kielégítő ortogonális és teljes függvénybázison
így:
(4.9.)
.
A megoldásként felírt Bessel-Fourier transzformáltban szereplő függvényegyütthatók (A
k
(m) és B
k
(m)) a
határfeltételekből határozhatók meg. Látható, hogy az integrálási állandók is fizikai értelmet nyernek,
térfrekvenciaként kezelhetjük őket. A határfeltételek a potenciál és az áramsűrűség normális komponensének
folytonossága. Legtöbb esetben a megoldásnak nincs szögfüggése így a megoldás alakja egyszerűbb lehet:
(4.10.)
.
A megoldásnak ez a formája az integrandusban szereplő monoton tag változója (exponenciális), azaz z-szerint
határfeltételek kezelésére alkalmas, pl. a merőlegesen harántolt réteghatárok kezelésére. Ha a változók
szétválasztásánál megváltoztatjuk m
2
előjelét, akkor másfajta ortogonális rendszerben (módosított Bessel-
függvényekkel) fejthetjük ki az általános megoldást. Szög szerint szimmetrikus esetben:
(4.11.)
.
Ebben az esetben K
0
és I
0
monotonitása miatt az r változó szerinti határfeltételek kezelhetők könnyebben, tehát
ez a forma lesz alkalmas az elárasztás és fúrólyukhatás leírására.
4.1.1. Forrásmodell
Az elektromos szondák elektródáit leggyakrabban pontelektród modellel modellezzük. Az elektródák távolságait
és az elektródák kiterjedését vizsgálva ez jó közelítés:
(4.12.)
.
Így a megoldás gyakorlatilag a probléma Green-függvényének meghatározását igényli (G(r,z)). A szuperpozició
elvből következően a Green-függvénnyel tetszőleges elektróda rendszer potenciáltere leírható:
(4.13.)
.
23
Egyenáramú fajlagos ellenállásmérések
XML to PDF by RenderX XEP XSL-FO F ormatter, visit us at 
http://www.renderx.com/

---

A pontelektród szinguláris potenciálja miatt viszont nem alkalmas az elektródáknál fellépő átmeneti ellenállás
modellezésére és a közeg visszahatásainak modellezésére, illetve torzítja a potenciált kis elektród távolságok esetén.
Ezek modellezésre pl. henger-elektróda modell használható (pl. de-Witte modell, de-Witte 1959).
4.1.2. Pontelektród tere réteghatárnál
A réteghatár R
1
és R
2
fajlagos ellenállású zóna határán legyen z = h mélységben. Az áramforrás legyen z = 0
helyen. Az általános megoldás ismeretében írjuk fel a határfeltételeket. Egyrészt megköveteljük, hogy a megoldás
eltűnjön a végtelenben. A határon a potenciál és áramsűrűség folytonosan megy át. A pont elektród környezetében
a homogén térbeli potenciál szingularitásnak kell fellépnie. Ez utóbbi a megfelelő Weber-Lifschitz integrál
segítségével érvényesíthető:
(4.14.)
.
Így a potenciál és az áramsűrűség z-irányú komponensének folytonosságából a határfeltételi egyenletek z = h síkra:
(4.15.)
.
Felhasználtuk, hogy a paraméteres integrálok akkor lehetnek egyenlők, ha térfrekvenciánként fennáll az egyenlőség.
Bevezetve a reflexiós együtthatót (k
12
):
(4.16.)
,
amellyel a megoldás az 1. közegben:
(4.17.)
,
illetve a 2. közegben:
(4.18.)
.
Radiális inhomogenitások (elárasztás modellezése) esetében a 4.11. alakú általános megoldásból indulunk ki. Erre
a megoldásra is felírható a Weber-Lifschitz integrál:
(4.19.)
.
Felhasználva a módosított Bessel-függvények és deriváltjaik közötti összefüggéseket:
(4.20.)
,
24
Egyenáramú fajlagos ellenállásmérések
XML to PDF by RenderX XEP XSL-FO F ormatter, visit us at 
http://www.renderx.com/

---

a két tartomány esetén a határfeltételi egyenletek r = D hengerfelületre:
(4.21.)
.
Megoldva a térfrekvenciától függő egyenletet, a számunkra lényeges első közegben a potenciál:
(4.22a.)
,
ahol:
(4.22b.)
.
4.2. Potenciál és Gradiens szondák
A fúrólyukban végzett elektromos mérések első eszközei az un. potenciál szondák voltak.
A szonda felépítése egyszerű: egy I áramot bebocsátó áramelektróda (A) környezetében L távolságra elhelyezünk
egy mérőelektródát (M), mely potenciált (U) méri. Valóságban egy távolabb elhelyezett referencia ponthoz képest
a feszültséget. Ebből – 4.5. egyenlet átrendezésével - kapjuk a látszólagos fajlagos ellenállást.
(4.23.)
.
Inhomogén terek esetében is ezt a konverziót alkalmazzuk, bevezetve a K szondaállandót, mely csak a szonda
geometria függvénye.
4.2. ábra. Potenciál és gradiensszonda elektróda elrendezése
Természetesen a mérő elektródtól nagyobb távolságban egy visszáram elektródát is elhelyeznek (B), a potenciál
1/r-es lecsengése miatt ennek hatását elhanyagoljuk.
25
Egyenáramú fajlagos ellenállásmérések
XML to PDF by RenderX XEP XSL-FO F ormatter, visit us at 
http://www.renderx.com/

---

Az elektród távolság növelésével a szonda kutatási mélysége növelhető, de közben a vertikális felbontás, amely
rétegzett összletek esetében fontos, ennek megfelelően romlik. Különböző hosszúságú potenciál szondák sorozatával
a fajlagos ellenállás profil közelítőleg felderíthető. A modellezést a 4.1. fejezetben ismertetett egyenletek segítségével
végezhetjük.
A potenciáltér változásaira érzékeny az un. gradiens szonda. Egy árambebocsátó (A) és két kis távolságra (ΔL)
elhelyezkedő mérőelektróda építi fel (M,N). A szonda hossz (L) az A elektród és az MN szakasz felezőpontja
között értendő. I áram bebocsátása mellett az M és N elektród közötti feszültséget mérik. A homogén R fajlagos
ellenállású térben a mért érték:
(4.24.)
.
A kapott közelítő összefüggés ΔL«L esetén igaz és első rendbeli Taylor-sorfejtéssel kapjuk.
Ezzel a látszólagos fajlagos ellenállás:
(4.25.)
.
A látszólagos fajlagos ellenállás közelítőleg az elektromos térerő z-komponensével fejezhető ki. A fenti két szonda
esetében nagy fajlagos ellenállás kontrasztok esetén erősen romlik a vertikális felbontás. Homogén rétegeknél a
potenciálszonda szimmetrikus jelet produkál. Ha szondahossz és a rétegvastagság összevethető, a mért érték az
R
t
-hez képest jelentősen torzulhat, szondahossznál kisebb rétegek esetén a szonda csökkenő R
a
értékeket mérhet,
miközben az R
t
a beágyazó rétegnél nagyobb.. A gradiens szonda jele a rétegnél aszimmetrikus, a mérő elektródák
elhelyezkedésétől függően vagy a réteg tetőnél vagy a talpnál jelentős túllövést produkálva (tető vagy talp szonda).
A gradiens szonda esetében a túllövés előtti értékek közelítik legjobban a réteg fajlagos ellenállását (4.3. ábra).
Régebbi fúrások adatai közt (4.4. ábra) találhatunk potenciál és gradiens szonda kombinációkat (un. Gulf Coast:
2 potenciál és egy gradiens szonda kombinációja, BKZ: orosz gradiens szonda kombináció).
A kombinált elektromos szondákkal való mérés elektródrendszerét egy szondatesten alakítják ki és váltakozva
mérik.
26
Egyenáramú fajlagos ellenállásmérések
XML to PDF by RenderX XEP XSL-FO F ormatter, visit us at 
http://www.renderx.com/

---