Mavzu: Qisqa ko’paytirish formulalarining umumlashmalari. Ko’phadlarni bo’lish Reja

3 va 9 ga bo'linish belgisi. 10 ning darajalarini 10ⁿ = (9 + 1)ⁿ = 9A_n+1 ko'rinishda ifodalasak (bu yerda A_nєN), 10ⁿ darajalarni b = 9 (yoki b = 3) ga bo'lishdan chiqadigan qoldiqlar 1 ga tengligi kelib chiqadi. Shuning uchun B = a₀ + a₁ + ... + a_n hosil bo'ladi. Bu yerdan ushbu qoida kelib chiqadi: agar berilgan a sonning raqamlari yi-g'indisi 9 ga (3 ga) qoldiqsiz bo 'linsa, u holda bu son 9 ga (3 ga) qoldiqsii bo'linadi.

5 ga bolinish belgisi.10^k(k= 1, 2, ..., n) darajalar b = 5 ga qoldiqsiz bo'linadi: r₁=r₂=...=r_n=0.

B = a₀ bo'lgani uchun ushbu qoida kelib chiqadi: oxirgi raqami 5 ga qoldiqsiz bo 'linadigan sonlar va faqat shunday sonlar 5 ga qoldiqsiz bo'linadi.
4. 4 va 25 ga bo'linish belgilari. b = 4 bo'lganda 10 = 2b+2, 10² = 25b+0, 10³ =250b+0, ...,
r₁= 2, r₂ = r₃ = ... = r_n = 0 bo'lib, B= a₀+ 2a₁ bo'ladi, ya'ni sonning 4 ga bo'linishi uchun, uning birlik raqami bilan o'nlik raqami ikkilanganining yig'indisi 4 ga bo'linishi zarur va yetarlidir.
B = a₀+ 2a₁ ifodani bunday yozamiz:
yoki
B+ 8a₁ = a₁a₀ bo'lgani uchun B son a₁a₀ soni 4 ga bo'linganda va faqat shu holdagina 4 ga qoldiqsiz bo'linadi. Bundan, oxirgi ikkita raqamidan tuzilgan son 4 ga bo 'linadigan sonlar va faqat shunday sonlar 4 ga bo 'linishi kelib chiqadi.
Masalan, 14 024 sonining oxirgi 2 va 4 raqamlaridan tuzilgan 24 soni 4 ga bo'linadi, demak, 14
024 soni ham 4 ga bo'linadi.
Xuddi shunday oxirgi ikki raqamidan tuzilgan son 25 ga bo 'linadigan sonlar va faqat shunday sonlar 25 ga bo 'linadi.
Masalan, 1 350 sonida oxirgi ikki raqamidan iborat son 50, bu 25 ga qoldiqsiz bo'linadi. Demak, 1 350 ham 25 ga qoldiqsiz bo'linadi. 2² va 5² uchun olingan xulosani 2^m, 5^m (m єN) sonlari uchun ham umumlashtirish mumkin. Agar berilgan sonning oxirgi m ta raqamidan tuzilgan son 2^m ga (5^m ga) qoldiqsiz bo'linsa, berilgan son ham 2^m ga (5^m ga) qoldiqsiz bo'linadi.

5. 
   7 ga bo'linish belgisi. Bizda b = 7 va
   

10⁷ da r₇ = 3 = r₁ qoldiqlar qaytadan takrorlanyapti. To-pilgan natijalarni (1) ga qo'ysak, u holda a
= A • 7 + B da B= a₀ + 3a₁ + 2a₂ + 6a₃ + 4a₄ + 5a₅ + a₆ + 3a₇ + a₈+ ... yoki koeffitsientlarni 7 ga nisbatan yozsak:
Oxirgi ifodada a₀+ 3a₁ + 2a₂+ a₆+ 3a₇+ 2a₈+ ... = B₂, a₃+3a₄ + 2a₅+a₉+3a₁₀+2a₁₁+...=B₁ deb belgilasak, a = 7 • A + B₂ - B₁ ga ega bo'lamiz. Shunday qilib, B₂- B₁ ayirma 7 ga qoldiqsiz bo'linsa, berilgan a son ham 7 ga qoldiqsiz bo'linishi kelib chiqadi.

1. 
   mi sol. 675 056 742 sonining 7 ga bo'linishi yoki bo'linmasligini aniqlang.
   

Yechish.

38 + 28 - 21 = 66 - 21 = 45 soni 7 ga bo'linmaydi.

Demak, berilgan son 7 ga bo'linmaydi.

5. 
   11 ga bo'linish belgisi. Berilgan a sonda qatnasha-yotgan 10 ning darajalarini 11 ga bo'lishdagi qoldiq bar doim 10 yoki 1 bo'ladi. Demak, berilgan sonning juft o'rinda turgan raqamlari yig'indisidan toq o'rinda turgan raqamlari yig'indisi ayirilganda hosil bo'ladigan ayirma 11 ga bo 'linsa, son 11 ga qoldiqsiz bo 'linadi.
   

2. 
   m i s o 1. 4 788 sonining 11 ga bo'linishini aniqlang. (7 + 8) - (4 + 8) = 15 - 12 = 3 soni 11 ga bo'linmaydi, demak, berilgan son ham 11 ga bo'linmaydi.
   
3. 
   m i s o 1. 3 168 ning 11 ga bo'linishini tekshiring. (1 + 8) - (3 + 6) = 0. Demak, son 11 ga bo'linadi.
   

N a t i j a. Agar S(p, q) = l bo'lib, a soni ham p ga, ham q ga bo'linsa, u pq ga bo'linadi. Masalan, biror son ham 2 ga, ham 3 ga bo'linsa, u 6 ga bo'linadi, 3 ga va 4 ga bo'linadigan sonlar 12 ga ham bo'linadi va hokazo.
Qadimgi Samarqand madrasalarida a sonni biror b (masalan, 9) ga bo'lishdan chiqadigan qoldiq r ni shu sonning mezoni (o'lchami) deb ataganlar va undan sonlar ustida amallar to'g'ri bajarilganini tekshirishda foydalan-ganlar. Masalan, 378 • 4 925 = 1 861 650 dagi natij'a to'g'ri hisoblanganligini tekshiramiz.
Mezonlar (9 ga bo'linish belgisi bo'yicha):
378 uchun: 3 + 7 + 8 =18, 1 + 8 =9;
4 925 uchun: 4 + 9 + 2 + 5= 20, 2 + 0=2.
Mezonlar ko'paytmasi: 9-2 =18, 1 + 8 =9.
1861 650uchun: 1+8 + 6+1+6 + 5 + 0 =27, 2 + 7 =9.
Mezonlar va berilgan sonlar ko'paytmalarining mezon-lari teng, ya'ni 9=9. Demak, topilgan ko'paytma to'g'ri.