Mavzu: Haqiqiy sonlar va ular ustida amallar. Reja: iratsional sonlar haqiqiy sonlar to’plami

MAVZU: Haqiqiy sonlar va ular ustida amallar.

REJA:

1. 
   IRATSIONAL SONLAR
   
2. 
   HAQIQIY SONLAR TO’PLAMI
   
3. 
   HAQIQIY SONLAR USRIDA ARIFMETIK AMALLAR.
   

1. Irratsional sonlar. Qisqarmas kasr shaklida ifodalab bo‘l- maydigan sonlar, ya’ni irratsional sonlar ham uchraydi.

1- m i s о 1. Tomoni 1 ga teng bo‘lgan kvadratning d diagonali hech qanday ratsional son bilan ifodalanmasligini isbot qilamiz (9- rasm).
Isbot. Pifagorteoremasigamuvofiqd2- 12+12=2. Dia- gonalni ^ qisqarmas kasr ko‘rinishida yozish mumkin, deb
faraz qilaylik. U holda = 2 yoki m2- 2n2. Bunga ko‘ra m — juft son, m- 2k. Shuningdek, (2&)2 = 2n2 yoki 2k- n, ya’ni n ham juft son. — kasming surat va maxraji 2 ga qisqarmoqda, bu
Vb
esa qilingan farazga zid. Demak, d ning uzunligi, ya’ni V2 soni ratsional son emas.
2- misol. 0,101001000100001000001... soni irratsional son ekanini isbotlang (birin- chi birdan keyin bitta nol, ikkinchi birdan keyin ikkita nol va hokazo).
Isbot. Berilgan kasr davriy va uning davri n ta raqamdan iborat deb faraz qilaylik (teskari faraz). 2n + 1 -bimi tanlaymiz. Bu birdan keyin 2n + 1 ta ketma-ket nollar keladi: 
п ta п ta
Shu o‘rtada turgan 0 ni qaraymiz. Bu nol biror davming yo boshida, yoki ichida, yoki oxirida keladi. Bu hollaming ham- masida bu davr ajratilgan nollardan tuzilgan «kesma»da to‘la joylashadi. Demak, davr faqat nollardan tuzilgan. Bunday bo‘lishi esa sonning tuzilishiga zid. Demak, qilingan faraz noto‘g‘ri.
Barcha ratsional va irratsional sonlar birgalikda haqiqiy sonlar deyiladi.
Haqiqiy sonlar to‘plami R orqali belgilanadi. Manfiy va musbat haqiqiy sonlar to‘plamlarini mos ravishda R_, R+ lar bilan
belgilab, R = R_ (J {0} U R+ tenglikka ega bo‘lamiz.
Sonlaming ildiz ishorasi orqali yozilishi ularning kattaligini
aniq bilishga yetarli emas. Masalan, hisoblashlarsiz 42 va 3V3 lardan qaysi binning kattaligini aytish qiyin. Bu holda Ш = 1,442...,
л/2 = 1,4142... kabi davriy bo‘lmagan cheksiz о‘nli kasr ko‘ri-
nishdagi yozuv oydinlik kiritadi, lekin hisoblashlami qiyinlashtiradi. Shunga ko‘ra irratsional sonni unga yaqin ratsional son orqali taqribiy ifodalashga harakat qilinadi. Chunonchi:
1) a irratsional sonni undan kichik ax (quyi chegara) va
undan katta a2 (yuqori chegara) ratsional sonlar orqali ax < г<\а2-ах\ dan oshmaydi. Masalan, 1,41<л/2 <1,42,
s<|l,42-l,41| = 0,01;
2) ba’zan a uchun a=(a2+ ax)/2 ocrta qiymat olinadi, a~a. Ocrta qiymatdagi absolutxato A a < (a2 -a: )/2, irratsional son esa
a « a ± Aa kocrinishda yoziladi. Masalan, 1,41 < 42 < 1,42 boclgani uchun
^ = 1,42 + 1,41 = 1)415) AJ-42-'.41 = 0,005 
Shunga ko‘ra 42 »1,415 ±0,005. Sonni yaxlitlashdan vujudga keladigan haqiqiy xato qoldirilayotgan raqam xonasi 1 birligidan
oshmaydi. 42 «1,42 taqribiy son xatosi e = 1,4142... - 1,42 = = -0,0057 *-0,6-10“2.
1,41 < 42 < 1,42 bo‘lganidan 42 ning (1,41; 1,42) dan
olinadigan qiymatlari to‘plami chegaralangandir. Shu kabi, uzunligi С ga teng bo‘lgan aylana ichiga chizilgan barcha qavariq n- burchaklarning P=Pn perimetrlari С dan kichik, ya’ni
p = {p | p = pn 3Л2 = 3, 4, 5, ...,pn < С} to‘plamchegaralanganva son ko‘rinishda beriladi.
3- misol. n soni kattami yoki 4l0 mi?
Yechish. Masalan = 3,14159... va VlO =3,16227... sonlari-
ning mos xonalari raqamlarini (ocnli yaqinlashishlarini) taqqos- lash orqali hal bocladi. Ulaming butun qismlari va ocndan birlar xonasi raqamlari bir xil, lekin 0,01 lar xonasi raqami VlO da katta. Demak, n < 4l0.
4- m i s о 1. 42 + 4~5 — irratsional son ekanligini isbotlang.
Isbot. 42 +45 ratsional son deb faraz qilaylik, ya’ni 42 +45 = r, r g Q. л/5 = г- л/2=>5 = г2-2л/2/*+2=>
^2 _ o
=>3 = г2-2л/2г=>г2-3 = 2л/2г=>л/2 = —— e Q;
2 r
lekin 42 £ Q. Zidlik hosil bocldi. Faraz notocgcri. Demak, 2. Sonli to‘plamlarni ajratuvchi son. Xva Ysonli tocplamlar bocsh boclmasin. Agar X ning Vx elementi Y ning Vy elementidan kichik boclsa, Y tocplam X tocplamdan ocngda joylashgan bocladi, bunda V — ixtiyoriylik belgisi. Agar VXGI va \/y gY elementlar uchun x4 — Algebra, I qism 49
shu to‘plamlami ajratuvchi son deyiladi. Bu holda Y to‘plam с dan o‘ngda joylashadi. Masalan, X = {3; 7} va Y = {9; 12} to‘p- lamlami с = 8 soni ajratadi va bunda Y to‘plam с ning o‘ng to- monida, Xesa с ning chap tomonida joylashadi. Agar 7tocplam X to‘plamdan o‘ngda joylashsa, bu to‘plamlami ajratuvchi kamida bitta son mavjud boladi.
Oliy matematika kursida quyidagi teorema isbot qilinadi. Teorem a . Natural sonlar to‘plamida berilgan Y = [yn]
to(plam X = [xn] to(plamdan o(ngda joylashgan, yafni xn bo‘lsin. X va Y larni ajratuvchi faqat bitta с soni mavjud bo(lishi uchun yn - xn ayirmalar har qancha kichik ЬоЧа oladigan, yafni X va Ylar bir-birlariga har qancha yaqin joylasha oladigan bo(lishi zarur va yetarli.
1- m i s о 1. (3; 5) va (7; 9) oraliqlar (5; 7) oraliqqa qarashli ixtiyoriy son bilan ajraladi. (3; 5) va (7; 9) oraliqlaming nuqtalaridan tuzilgan ixtiyoriy oraliq uzunligi (5; 7) oraliq uzunligidan, ya’ni
7- 5 = 2 dan kichik boclolmaydi.
2- m i s о 1. [2; 5] va [5; 8] kesmalar faqat 5 soni bilan
ajraladi, chunki ixtiyoriy n natural son uchun 5-5 + ^
oraliq uzunligi | ga teng. n ning yetarlicha katta qiymatlarida bu uzunlik har qancha kichik bocladi. 3. Haqiqiy sonlar ustida arifmetik amallar. sonining 10"" gacha kami (quyi chegara) va ortig‘i (yuqori chegara) bilan olingan bir necha yaqinlashishlarini kuzataylik: 1,4 < л/2 < 1,5,
1,41 < л/2 < 1,42, 1,414<л/2 <1,415 . Kami bilan olingan o‘nli yaqinlashishlar o‘suvchi, ortig‘i bilan olinganlari esa kamayuvchi ketma-ketlik tashkil etmoqda. Uning hadlaridan iborat ikki
to‘plamni yagona л/2 soni ajratib turadi. Arifmetik amallarni bajarish va topilgan natijalami baholashda sonlarning bu xususiyati e’tiborga olinadi.
Agar A, В va hokazo sonlar an < A < a’n kabi ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, ular ustida amallarni bajarishda tengsizliklaming ma’lum xossalaridan foydalanamiz, bunda an va lar A ning I0~n gacha kami va ortig‘i bilan olingan o‘nli yaqinlashishlari,
n GN . Natija xn < X < x'n qo‘shtengsizlik yoki X = x± Ax, yoki X«x ko‘rinishida yoziladi. Bu yozuvlaming biridan ikkinchisiga o‘tish mumkinligini bilamiz. Xususan, xn < X < x'n bocyicha X
ning x = %n *n ocrtacha (taqribiy) qiymati va uning Ajc = %n *n
chegaraviy (eng katta) absolut xatosini hisoblash orqali X = x±Ajc ga octish va aksincha, X = x±Ax bocyicha x- Ax < X ^n ^ a < dn
b„,< P<4 yoki qisqaroq + an bn 4
x < X < xf X X' +
shu to‘plamlami ajratuvchi son deyiladi. Bu holda Y to‘plam с dan o‘ngda joylashadi. Masalan, X = {3; 7} va Y = {9; 12} to‘p- lamlami с = 8 soni ajratadi va bunda Y to‘plam с ning o‘ng to- monida, Xesa с ning chap tomonida joylashadi. Agar 7tocplam X to‘plamdan o‘ngda joylashsa, bu to‘plamlami ajratuvchi kamida bitta son mavjud boladi.
Oliy matematika kursida quyidagi teorema isbot qilinadi.
T e о r e m a . Natural sonlar to‘plamida berilgan Y = [yn]
to(plam X = [xn] to(plamdan o(ngda joylashgan, yafni xn bo‘lsin. X va Y larni ajratuvchi faqat bitta с soni mavjud bo(lishi uchun yn - xn ayirmalar har qancha kichik ЬоЧа oladigan, yafni X va Ylar bir-birlariga har qancha yaqin joylasha oladigan bo(lishi zarur va yetarli.
1- m i s о 1. (3; 5) va (7; 9) oraliqlar (5; 7) oraliqqa qarashli ixtiyoriy son bilan ajraladi. (3; 5) va (7; 9) oraliqlaming nuqtalaridan tuzilgan ixtiyoriy oraliq uzunligi (5; 7) oraliq uzunligidan, ya’ni
7- 5 = 2 dan kichik boclolmaydi.
2- m i s о 1. [2; 5] va [5; 8] kesmalar faqat 5 soni bilan
ajraladi, chunki ixtiyoriy n natural son uchun 5-5 + ^
oraliq uzunligi | ga teng. n ning yetarlicha katta qiymatlarida bu uzunlik har qancha kichik bocladi.

5) a ni p Ф 0 ga bo‘lishdan hosil boladigan bo ‘linma deb,

a | ko‘paytmaga aytiladi, ya’ni an — <^ < aL ~.
p bn P bn
a = a ± Aa ko‘rinishdagi sonlar ustida amal ikki usulda baja- riladi:
1- u s u 1: sonlar qo‘shtengsizlik ko‘rinishda qaytadan yoziladi, socng amal bajariladi.
2- usul: oldin amal a, b, ... taqribiy qiymatlar ustida bajarilib, x, socng alohida formulalar bocyicha Ax xato qiymati topiladi:
1) yigcindi xatosi: A(a + b) = Aa + Ab , chunki a + p = = (a ± A a) + (b± Ab) = (a + b)± (A a + AZ>);
2) ayirma xatosi: A(a-b) = Aa + Ab , chunki a - p = = (a± Aa) ~(b± Ab) = (a-b)± (Aa + Ab);
3) kocpaytma xatosi: A(ab)« bAa + aAb, chunki ap =
= (a ± Aa)(b ± Ab) = ab± (bAa + aAb), bunda nisbatan kichik bolganligidan AaAb kocpaytma tashlab yuboriladi. Xususan,
/ i—\ —-i A(an) = nan~1 • Aa va a|\lam j = ^ • an Aa;
± 0,01 sonida 28,85 ishonchli raqamlardan iborat, 5, 6, 9 lar esa ishonchsizdir. Shunga ko‘ra a « 28,86 .
Ratsional sonlar ustida bajariladigan arifmetik amallaming barcha xossalari haqiqiy sonlar holida ham o‘z kuchida qoladi. Ulami eslatib o‘tamiz:
1) a + p = p + a; 2) a + (p + y) = (a + p) + y; 3) a + 0 = a;
4) a + (-a) = 0; 5) a(p + y) = ap + ay.
Shu kabi: 1') ap = pa; 2') a(py) = (ap)y; 3') a 1 = a;
4') £ = 1, a*0.
7 a
1- m i s о 1. Kuchlanishi 215 ± 15 V bolgan elektr tarmoglga tok kuchi 5 A dan oshmaslik sharti bilan 44 + 0,5 Q qarshilikni ulash mumkinmi?
Y e с h i s h. / = ^ = ... = 4,896... ±0,293... «
» 4,89 ± 0,30 A yoki 4,59 < I < 5,2 A , ya’ni I ning yuqori chegara qiymati 5 A dan oshmoqda, demak, ulash mumkin emas.