Mavzu: Qisqa ko’paytirish formulalarining umumlashmalari. Ko’phadlarni bo’lish Reja

a sonini tub ko'paytuvchilarga yoyishda ba'zi ko'paytuvchilar takrorlanishi mumkin. q₁ <q₂, ...,
q_n ko'paytuv-chilarning takrorlanishlarini mos ravishda α, β, ...,γ orqali
belgilasak, hosil bo'ladi. Bu a sonining kanonik yoyilmasidir. Masalan,

Natural sonlarning kanonik yoyilmasidan foydalanib, uning bo'luvchilarini va bo'luvchilar sonini topish mumkin.

2. teorema. a natural sonining kanonik yoyilmasi bo'lsin. U holda a ning har qanday bo'luvchisi ko'rinishda bo'ladi, bunda

I sbo t. a soni d ga bo'linsin. a= dq. U holda a ning hamma tub bo'luvchilari mavjud va ularning darajalari d ning kanonik yoyilmasidagi darajalaridan kichik bo'lmaydi. Shunga ko'ra, d bo'luvchi yoyilmaga ega va a ning d ga bo'linishi ayon.
Misol tariqasida 48 ning bo'luvchilarini topaylik. 48 = 2⁴ • 3 bo'lganligidan, uning bo'luvchilari quyidagicha topiladi: 2° • 3°, 2¹ • 3°, 2² • 3°, 2³ • 3°, 2⁴ • 3°, 2° • 3¹, 2²• 3', 2³• 3¹, 2⁴• 3¹, 2¹• 3'. a natural sonining natural bo'luvchilari soni τ(ø) bilan belgilanadi.

3. teorema. Agar a natural sonining kanonik yoyilmasi bo'lsa , tenglik o'rinli bo'ladi.

Isbot.2-teoremaga asosan sonining har bir bo'luvchisi ko'rinishda bo'ladi. β1, ifoda 0; 1; 2;...; α, qiymatlarni qabul qiladi. Shu kabi β, ifoda α₂+ 1 ta qiymatni qabul qiladi va hokazo. β_1, β₂,..., β_n qiymatlarning ixtiyoriy kombinatsiyasi a sonining biror bo'luvchisini aniqlaydi. qiymatlarning mumkin bo'lgan kombinatsiyalarining va demak, a ning natural bo'luvchilarining soni ga teng.Ba'zi hollarda natural son bo'luvchilarining yig'indisini topishga to'g'ri keladi. Bunday hollarda, natural son bo'luvchilarining yig'indisi δ(α) ni hisoblash formulasi
dan foydalanish mumkin.
3- m i s o 1. 20 ning bo'luvchilari sonini va bo'luvchilari yig'indisini toping.
Y e c h i s h. bo'lgani sababli, 20 ning bo'luvchilari soni , bo'luvchilarining yig'indisi esa
bo'ladi.