Kurs ishi mavzu: “Gilbert fazosida proeksion operatorlar” Bajargan: Gulimmatova Zumrad Qabul qiluvchi: Kalandarov Turabay 2023-2024 o’quv yili mundarija

Ta’rif-2. Yevklid fazosida x vektorning uzunligi deb
(4)
songa aytiladi. x vektorning uzunligini bilan belgilaymiz.
Vektorlar orasidagi burchak, vektoning uzunligi hamda vektorlarning skalyar ko‘paytmalari odatdagi munosabatlar bilan bog‘langan: vektorlarning skalyar ko‘paytmasi ularning uzunliklari ko‘paytmasi bilan ular orasidagi burchak kosinusi ko‘paytmasiga teng. Ammo bu jumladagi «vektorlar orasidagi burchak» so‘zlaridan tashqari hamma so‘zlarning ma’nosi bizga tushunarli bo‘lishi uchun quyidagi ta’rifni beramiz.
Ta’rif-3. x va u vektorlar orasidagi burchak deb

songa aytamiz, ya’ni
(5)
deb qabul qilamiz. Agar x va u vektorlar orasidagi burchak ga teng bo‘lsa, ya’ni
(x,u)=0
bo‘lsa, x va u vektorlar ortogonal vektorlar deyiladi.
Kiritilgan tushunchalar yordami bilan elementar geometriyaning qator teoremalarini yevklid fazosiga ko‘chirish mumkin.


Xulosa
Evklid fazosini normalangan fazo sifatida qarasak, u to‘la bo‘lishi yoki bo‘lmasligi mumkin. Agar E Evklid fazosi to‘la bo‘lmasa, u holda uning to‘ldiruvchisi bo‘lgan Banax fazosini 𝐸̅ bilan belgilaymiz.
1-teorema. Evklid fazosining to‘ldiruvchisi ham Evklid fazosi bo‘ladi.
Isbot. Bu teorema metrik fazolarning to‘ldiruvchisi haqidagi teorema isbotiga o‘xshab isbotlanadi. To‘ldiruvchi fazo 𝐸̅ ning 𝑥 va 𝑦 elementlarini olamiz. Aytaylik {𝑥_𝑛} va {𝑦_𝑛} E fazoning elementlaridan tuzilgan va mos ravishda 𝑥 va 𝑦 ga yaqinlashuvchi ketma-ketliklar bo‘lsin.
Agar (𝑥_𝑛, 𝑦_𝑛) sonli ketma-ketlikni qarasak, ushbu
|(𝑥_𝑛, 𝑦_𝑛) - (𝑥_𝑚, 𝑦_𝑚)| ≤ |(𝑥_𝑛, 𝑦_𝑛 - 𝑦_𝑚)| + |(𝑥_𝑛 - 𝑥_𝑚, 𝑦_𝑚)|
≤ ‖𝑥_𝑛‖‖𝑦_𝑛 - 𝑦_𝑚‖ + ‖𝑥_𝑛 - 𝑥_𝑚‖‖𝑦_𝑚‖
tengsizlikdan {(𝑥_𝑛, 𝑦_𝑛)} ketma-ketlikning fundamental ketmaketlik ekanligi kelib chiqadi. Demak, mavjud. Bu limit va ketma-ketliklarga emas, ba’lki faqat va elementlarigagina bog’liqligi bevosita tekshiriladi. Endi da skalyar ko’paytmani quyidagicha aniqlaymiz:

Masalan,

Shunga o’xshash

Demak, Evklid fazosidir.
Ta’rif. To‘la Evklid fazosi Gilbert fazosi deyiladi.