Kurs ishi mavzu: “Gilbert fazosida proeksion operatorlar” Bajargan: Gulimmatova Zumrad Qabul qiluvchi: Kalandarov Turabay 2023-2024 o’quv yili mundarija

Ta’rif-1. –haqiqiy fazo bo‘lsin. Agar vektorlarning har bir juftiga haqiqiy son mos qo‘yilgan bo‘lsa (bu sonni (x,u) shaklida belgilaymiz) va shu bilan birga bu moslik quyidagi to‘rt xossaga ega bo‘lsa (shu aksiomalarni qanoatlantirsa), V da skalyar ko‘paytma aniqlangan deyiladi.
1⁰. (x,u)=(u,x), ya’ni skalyar ko’paytma simmetrik.
2⁰. ( x,u)= (u,x), (bunda -haqiqiy son)
3⁰. skalyar ko‘paytmaning distributivligi).
4⁰. Vektorning o‘z-o‘ziga skalyar ko‘paytmasi manfiy emas: (x,x)>0 (x=0 bo‘lgandagina bu ko‘paytma nolga aylanadi).
1⁰-4⁰ shartlarni qanoatlantiruvchi skalyar ko‘paytma aniqlangan affin fazoni biz Yevklid fazosi deb ataymiz.
Misollar. 1. V fazo vektorlarini biz n ta har qanday haqiqiy sonlar tizimiga aytaylik. Vektorlarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallarini quyidagicha ta’riflaymiz.

Ushbu

vektorlarning skalyar ko‘paytmasini

formula bilan aniqlaymiz.
1⁰-3⁰ aksiomalar haqiqatan ham bajariladi, buni tekshirib ko‘rish qiyin emas. 4⁰ aksioma ham o‘rinlidir, chunki va bo‘lgan holdagina .
3. 1-misolga ko‘ra umumiyroq misolni ko‘rib chiqaylik. Vektorni ilgarigicha, n ta haqiqiy sonlar to‘plami deb qaraymiz. Vektorlarni qo‘shish va ularni songa ko‘paytirishni 1-misoldagi kabi aniqlaymiz.
Biror matritsani olamiz. x va u vektorlar skalyar ko‘paytmasini ushbu formula bilan aniqlaymiz:
(1)
(1) formula bilan aniqlangan ifoda skalyar ko‘paytmaning hamma aksiomalarini haqiqatan qanoatlantirishi uchun matritsaga qanday shartlar qo‘yish kerak ekanligini ko‘raylik.
Har qanday matritsa uchun 2⁰ va 3⁰ aksiomalarning bajarilishiga to‘g‘ridan to‘g‘ri tekshirish bilan ishonamiz. 1⁰ aksiomaning bajarilishi uchun, ya’ni (x,u) ifoda x va u ga nisbatan simmetrik bo‘lishi uchun
(2)
bo‘lishi, ya’ni matritsaning simmetrik bo‘lishi zarur va yetarlidir.
4⁰ aksioma
(3)
ifodaning har qanday lar uchun manfiy bo‘lmasligini hamda bo‘lgandagina nolga aylanishini talab qilamiz.
Agar (3) formula bilan aniqlanadigan bir jinsli ko‘phad («kvadratik forma») faqat manfiy bo‘lmagan qiymatlarni kabul qilsa va larning hammasi nolga teng bo‘lgandagina nolga aylansa, u musbat aniqlangan kvadratik forma deyiladi. Demak, 4⁰ aksioma (3) kvadratik formaning musbat aniqlangan bo‘lishini talab qiladi.
Shunday qilib, agar har qanday matritsa simmetrik bo‘lsa (2⁰ shart) va unga mos kvadratik forma musbat aniqlangan bo‘lsa, u holda bu matritsa (1) formula bilan aniqlanadigan skalyar ko‘paytmani tasvirlab beradi.
Agar matritsa matritsa sifatida birlik matritsani olsak, ya’ni va deb olsak, u holda (x,u) skalyar ko‘paytma

ko‘rinishni oladi va biz 1-misolda aniqlangan yevklid fazosini hosil qilamiz.
4. (a,b) intervalda berilgan uzluksiz funksiyalarni V fazoning vektorlari deb ataylik. Bunday funksiyalarning skalyar ko‘paytmasi, bu funksiyalar ko‘paytmasining integrali sifatida beramiz:
.
Skalyar ko‘paytmani bunday berilganda 1⁰-4⁰ aksiomalar bajariladi.
5. t bo‘yicha tuzilgan va darajasi n-1 dan oshmaydigan ko‘phadlarni vektorlar deb kabul qilamiz. Ikki ko‘phad skalyar ko‘paytmasini oldingi misoldagi kabi aniqlaymiz.
.
1⁰-4⁰ aksiomalar to‘g‘riligi 4-misoldagidek tekshiriladi.
2. Vektorning uzunligi. Vektorlar orasidagi burchak. Kiritilgan skalyar ko‘paytma tushunchasi yordami bilan vektorning uzunligi, hamda vektorlar orasidagi burchaklar haqida ta’riflar beramiz.