Kurs ishi mavzu: “Gilbert fazosida proeksion operatorlar” Bajargan: Gulimmatova Zumrad Qabul qiluvchi: Kalandarov Turabay 2023-2024 o’quv yili mundarija

Proeksion operatorlar
Quyida biz Gilbert fazosida aniqlangan operatorlarning maxsus sinflarini o‘rganamiz. Ta’rif. H Gilbert fazosida aniqlangan P chiziqli operator
1) P²=P,
2) P* =P
shartlarni qanoatlantirsa, u ortogonal proeksiyalash operatori deyiladi.
Ixchamlik maqsadida, bu bobda ortogonal proeksiyalash operatori iborasi o‘rnida proektor so‘zini ishlatamiz.
1-teorema. Har qanday proektor chegaralangan operator va bo‘lsa,

Isboti. Ushbu

munosabatdan Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga ko‘ra

P operatorni

Px=y
tenglik orqali aniqlaymiz, ya’ni P operator har bir ga uning L dagi proeksiyasini mos qo‘yadi. Kiritilgan operator proektor ekanligini ko‘rsatamiz.

k elib chiqadi.

G ilbert fazosida qo’shma operatorlar
E va F chiziqli fazolar bo’lib, L(E,F) esa E fazoni F fazoga akslantiradigan
barcha chiziqli operatorlar to’plami bo’lsin. L(E,F) to’plamda (A+V)x=Ax+Vx tenglik bilan ikkata A va V operatorlarni qo’shish amalini aniqlash mumkin. Xuddi shuningdek, bu to’plamda A operatorni €R so’nga ko’paytirish amalini ham quyidagicha aniqlash mumkin: (A)x=Ax L(E,F) to’plamni kiritilgan amallarga nisbatan chizikli fazo tashkil etishini tekshirish qiyin emas. Masalan, bu fazoning nol element o- nol operator bo’ladi. A operatorga qarama-qarshi operator bo’ladi. A operatorga qarama-qarshi operator esa, (-1) A bo’ladi. Xususiy holda, agar E=F bo’lsa, ya’ni aniqlanish sohasi E bo’lgan operatorlarning qiymatlar sohasi xam yana E fazoda yotsa, u xolda L(E,F) fazoda operatorlarni ko’paytirish amalini xam aniqlash mumkin bo’ladi. Agar A,V€ L(E,F) bo’lsa, (AV) x=A(Vx) tenglik bilan A va V operatorlarni ko’paytirishga nisbatan birlik element rolini o’ynaydi va L(E,F) tuplam birlik elementli xalqa tashkil etadi. Bu xalqa tashkil etadi. Bu xalqa umumiy xolda kommutativ emas. Masalan, E=R_n bulib n>1 shart bajarilsa L(R_n,R_n) fazo barcha ikkinchi tartibli haqiqiy elementli matristalar xalqasiga izomorf bo’lgan xalqa bo’lib, bu xalqa kommutativ emas. Agar A € L(E,E) operator uchun AV=J va SA=J (bu yerda J- ayniy almashtirish) tengliklarni qanoatlantiruvchi V va S operatorlar mavjud bo’lsa, u xolda V va S operatorlar bir xil bo’ladi, chunki V= (SA)V= S(AV)=SJ=C munosabatlar o’rinli bo’ladi. Shu bilan birga bunday V operatorni A ga teskari operator deyiladi va uni A^-1 ko’rinishda belgilanadi.
Aytaylik, E va F normalangan fazolar bo’lsin. U xolda, A: E→F operator uchun ║Ax║K║x║, E tengsizlik qanoatlantiruvchi K son mavjud bo’lgan xolda A operatorni chegaralangan deyiladi. AL(E,F) operator uchun ║A║=inf{K|║Ax║K║x║, E} son uning normasi deyiladi. Operatorning normasi uchun ║A║=sup║Ax║=sup║Ax║ munosabatlar o’rinli ekanin isbotlash mumkin. Haqiqatdan ham, ║A║ tengsizlikni qanoatlantiruvchi xE elementlar uchun ║Ax║K o’rinli bo’ladi.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Masalan, 3 xossa quyidagicha isbotlanadi.

Bu xossalar L(E,F) fazoning normallangan fazo ekanini bildiradi.
Xususan, F=R ,bo’lgan hol uchun L(E,F)-uzluksiz chiziqli funksionallar fazosi nomalangan bo’lib, uni E ga qo’shma fazo deyiladi.
Misollar. E=R_n F=R_m ,bo’lsin. Chiziqli A:R_nR_m operatorni aniqlash uchun R_n fazodagi biror e₁, e₂, ... , e_n orqali Ae_i vektorlarni bu bazisdagi koordinatalarini aniqlaymiz, ya’ni

Agar ixtiyoriy vektor bo’lsa, u holda
bu erda
Demak A operator (a_ij) matrista yordamida aniqlanib, u x=(x₁,x₂,…,x_n) vektorga quyidagicha ta’sir etadi.

R_n va R_m fazolarida oddiy Evklid normasini olamiz, masalan, xR_n uchun

U xolda
ya’ni munosabat o’rinli. Demak, A chiziqli chegaralangan operatordir.
A chiziq almashtirish ixtiyoriy ekanrliginidan har qanday A:R_n®R_m chiziqli operator uzluksiz bo’lishi kelib chiqadi.
2. E seperabel Gilbert fazosi bo’lib, e₁,e₂,…,e_n uning ortogonal bizisi bo’lsin u holda ixtiyoriy xÎE elementni ko’rinishida yozish mumkin. Biror C>0 soni uchun tengsizlik uni qanoatlantiruvchi ketma – ketligini olib operatorni quyidagicha aniqlaymiz:

A operatorning mavjudligi tengsilikdan va Riss – fisher teoremasidan kelib chiqadi. A operatorning chiziqli ekanligi uning qurilishidan kelib chiqadi. Xuddi shuningdek, A operatorning qurilishidan tenglik ham kelib chiqadi. Agar belgilashni kiritsak, munosabatlar hosil bo’ladi. Bundan {e_i} bazisning ortonormalligidan, kelib chiqadi, ya’ni . Demak,