I bob. Ekstremal masalalarni elementar usullar bilan yechish

Kvadrat uchxad yordamida yechiladigan ekstremal masalalar
Ekstremumga oid masalalarni yechishda foydalanish mumkin bo’lgan
elementar usullardan yana biri kvadrat uchxadning xossalaridan foydalanishdan iborat.


Teorema.
y=ax2+bx+c (a≠0) kvadrat uchxad a<0 bo’lganda
o’zining eng katta qiymatiga bo’lganda erishadi.
Isbot: y=ax2+bx+c=
.

a<0 bo’lgani uchun birinchi qo’shiluvchi musbat bo’lmaydi. Shuning uchun , ya’ni da kvadrat uchxad

ga teng eng katta qiymatga erishadi.

Teorema.
y=ax2+bx+c (a≠0) kvadrat uchxad a>0 bo’lganda
o’zining eng kichik qiymatiga bo’lganda erishadi.
y

O

x
y

O
x

a<0
y=ax2+bx+c

Isbot:.
a>0 bo’lganda birinchi qo’shiluvchi musbat. Shuning uchun ,

ya’ni da kvadrat uchxad ga teng eng kichik qiymatga erishadi

y

O
x

Ekstremal masalalarni yechishda qo’llash mumkin bo’lgan usullardan yana biri ko’paytmaning maksimumi va yig’indining minimumi xaqidagi teoremalardan foydalanishdir.

Teorema.
Yig’indisi o’zgarmas bo’lgan n ta musbat ko’paytuvchilarning ko’paytmasi shu ko’paytuvchilar o’zaro teng bo’lganda eng katta qiymatga erishadi.
Isbot: aytaylik n ta musbat x1, x2, x3, … , xn sonlarning yig’indisi o’zgarmas bo’lsin. Uni S bilan belgilaymiz. U holda
yoki

Bu yerdagi tenglik belgisi qo’shiluvchilar o’zaro teng bo’lganda, ya’ni har biri ga teng bo’lganda bajariladi. Qolgan barcha hollarda ko’paytma o’zgarmas sondan kichik bo’ladi. Demak, son ko’paytmaning eng katta qiymati bo’ladi.

Isbot. Aytaylik n ta manfiymas ko’paytuvchilarning ko’paytmasi o’zgarmas P ga teng bo’lsin. U holda

va
bu yerdagi tenglik belgisi har bir ko’paytuvchi o’zaro teng ya’ni bo’lganda bajariladi, qolgan hollarda esa yig’indi dan katta bo’ladi. Shunday qilib yig’indining eng kichik qiymati ga teng va u har bir qo’shiluvchi ga teng bo’lganda ro’y beradi.

Teorema.
Ko’paytmasi o’zgarmas bo’lgan n ta musbat qo’shiluvchilarning yig’indisi o’zining eng kichik qiymatiga ko’paytuvchilar o’zaro teng bo’lganda erishadi.