I bob. Ekstremal masalalarni elementar usullar bilan yechish

[a, b] kesmada uzluksiz bo’lgan funksiyaning eng katta va

eng kichik qiymatlarini topish uchun quyidagi qoida kelib chiqadi:

1. f(x) funksiyaning [a, b] kesma ichida yotuvchi barcha kritik nuqtalari topiladi.

2. Bu uqtalarda funksiyalarning qiymatlari topiladi.

3. f(x) funksiyaning [a, b] kesma chetlaridagi qiymatlari topiladi.

4. funksiyaning topilgan barcha qiymatlari orasidagi eng katta qiymati funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta qiymati bo’lib, ular ichida eng kichigi esa funksiyaning [a, b] kesmdagi eng kichik qiymati bo’ladi

II bob bo’yicha xulosa
Ushbu bobda miqdorlarning eng kichik va eng katta qiymatlarini izlashda, ya’ni ekstremal masalalarni yechishda mateamatik analizning fundamental tushunchalaridan xisoblangan xosila tushunchasidan foydalanish boshqa usullardan foydalanishga nisbatan qulay ekanligi ta’kidlanadi. Ekstremal masalalarni yechishda funksiyaning ekstremumlari (maksimum va minimum) xaqidagi tushunchalar, teoremalar (zaruriy va yetarli shartlar) va funksiyaning biror kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topish algoritmi ham berilgan.


Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari
Tabiatshunoslikning bir qator masalalarini yechish ikki va undan ortiq o’zgaruvchili funksiyalarni eng katta va eng kichik qiymatlarini topishga olib keladi. Bunday masalalar ekstremal masalalar deb atalishini bundan oldingi bobda aytib o’tganmiz. Biz bu bobda ikki o’zgaruvchili funksiyani ektremal qiymatlarini topishga olib keluvchi masalalar bilan shug’ullanamiz. Buning uchun dastlab ikki o’zgaruvchili funksiyaning maksimumi va minimumi ta’riflarini keltiramiz.


1-ta’rif. Agar funksiyaning M0(x0, y0) nuqtadagi qiymati unga yetarlicha yaqin bo’lgan nuqtalardagi qiymatlaridan katta bo’lsa, u holda funksiya M0(x0, y0) nuqtada maksimumga ega deyiladi.

2-ta’rif. Agar funksiyaning M0(x0, y0) nuqtadagi qiymati unga yetarlicha yaqin bo’lgan nuqtalardagi qiymatlaridan kichik bo’lsa, u holda funksiya M0(x0, y0) nuqtada minimumga ega deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimumlarini uning ekstremumlari deyiladi.
z

x

y
1
2

-1

(x-1)2+(y-2)2-1
x
z

y
Masalan, z=(x-1)²+(y-2)²-1 funksiya x=1, y=2 bo’lganda, ya’ni M(1, -2) nuqtada minimumga ega bo’ladi. Xaqiqatdan ham f(1;2)=(1-1)²+(2-2)²-1=-1 bo’ladi. Chunki x≠1, y≠2 bo’lganda (x-1)² va (y-2)² lari doimo musbat bo’lganligidan (x-1)²+(y-2)²-1>-1, ya’ni fx,y>f(1;2).

z=1/2-sin(x²+y²) funksiya x=0, y=0 bo’lganda, ya’ni O(0;0) nuqtada maksimumga ega. Xaqiqatdan ham f(0;0)=1/2. Agar biz x²+y²=π6 aylana ichida ixtiyoriy (x,y) nuqtani olsak, u holda 0 uchun sin(x²+y²)>0 bo’ladi. Shuning uchun f(x,y)=1/2-sin(x²+y²)<1/2 , ya’ni f(x,y(bo’ladi.