I bob. Ekstremal masalalarni elementar usullar bilan yechish

Funksiyaning ekstremumlari
y
O

x

10-chizma

y

O

x
a
x1

x2
x3

x4

x5 x6 x7 x8 x9 x10 b

Bunda shuni ta’kidlaymizki, maksimum(minimum) ta’rifida funksiya x0 nuqtaning ikkala tomonida aniqlangan bo’lishi ta’lab qilinadi. “Maksimum” va “Minimum” lotinch so’zlar bo’lib, eng katta va eng kichik degan ma’noni bildiradi. Shuni ta’kidlaymizki, biz yuritayotgan muhokamada maksimum va minimum terminlari orqali x0 nuqtanng yetarlicha kichik atrofida f(x ) funksiyaning o’zgarishi harakterlanadi. Berilgan bitta f(x ) funksiyaning o’zi bir necha maksimum va bir necha minimumlarga ega bo’lishi, xam mumkin Bu esa maksimum va minimum terminlarini funksiyaning aniqlanish sohasida uning eng ktta va eng kichik qiymalari tushunchasi bilan bir xil deb qarash mumkin emas. Masalan, 11-chizmadagi funksiya uchun x1, x3, x5, x7, x9 nuqtalarda funksiya maksimumiga x2, x4, x6, x8, x10 nuqtalarda esa funksiyaning minimumiga ega, shu bilan birga funksiyaning x10 nuqtadagi minimumi x1, x3, x5 nuqtalardagi maksimumidan kattadir.
Funksiyaning maksimumi va minimumi nuqtalari shu funksiyaning ekstremum nuqtalari deyiladi. Funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlari uning ekstremumlari deyiladi.
Funksiyaning ekstremumlari
Agar x=x0 nuqta funksiya uchun ekstremum nuqta bo’lsa, bu nuqtada xosila mavjud bo’lsa, bu xosila x=x0 nuqtada nolga teng bo’ladi, ya’ni bo’ladi.
Isbot. Aniqlik uchun x0 nuqtani maksimum nuqta deb olamiz va teoremani teskarisiga faraz qilish yo’li bilan isbolaymiz. Aytaylik bo’lsin. U holda quyidagi ikki xol bo’lishi mumkin:
1. bo’lsin. U holda bizga ma’lum bo’lgan teoremaga ko’ra shunday mavjud bo’ladiki, (x0­; x0+) oraliqdagi barcha x lar uchun tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlik x0 nuqtaning maksimum nuqta bo’lishiga zidlik qiladi. Bundan esa tengsizlikning noto’g’ri ekani kelib chiqadi.
2. bo’lsin. Bu holda ilgaridan bizga ma’lum bo’lgan teoremaga asosan shunday son mavjud bo’ladiki, ( oraliqdagi barcha x nuqtalar uchun tengsizlik bajariladi. Bu esa x0 nuqtaning maksimum nuqta bo’lishiga zidlik qiladi. Bundan esa tengsizlikning noto’g’ri ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, funksiyaning maksimum nuqtasida xosila noldan katta xam noldan kichik xam bo’la olmaydi. Demak, .

x0 nuqta minimum nuqta bo’lgan hol uchun xam xuddi shunday isbot qilinadi.

F E R M A T E O R E M A S I


Ekstremal masalalar yechish
a
x0

O
b x

y
1-chizma

a
O

b x

y
2-chizma

Aytaylik [a, b] kesmada aniqlangan va uzluksiz y=f(x) funksiya berilgan bo’lsin. Hozirgacha biz bu funksiyaning faqat lokal maksimumi va lokal minumumlarini izlash bilan shug’ullandik. Endi biz f(x) funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini izlash bilan shug’ullanamiz. Shuni ta’kidlaymizki, Veyershtrass teoremasiga asosan f(x) funksiya [a, b] kesmaning biror nuqtasida o’zining eng katta yoki eng kichik qiymatiga albatta erishadi. Aniqlik uchun [a, b] kesmada f(x) funksiyaning eng katta qiymatini izlash masalasi bilan shug’ullanaylik.
f(x) funksiya o’zining eng katta qiymatiga [a, b] kesamning yo ichki x0 nuqtasida (bu vaqtda u f(x) funksiyaning biror lokal maksimumi bilan ustma-ust tushadi (1-chizma) yoki [a, b] kesmaning chetki (boshi yoki oxiri) nuqtalaridan birida erishishi mumkin (2-chizma).