Fizika -1 Mexanika

F₄

11. Fırlanma hərəkətinin dinamikası

→
F₁

Tərpənməz ox ətrafında fırlanan cismin bütün nöqtələri çevrə üzrə hərəkət edirlər. Bu çevrələrin mərkəzləri bir ox üzərində yerləşir və bu oxa fırlanma oxu deyilir. Fırlanma oxu olan cismi fırlatmaq üçün, ona tətbiq olunan qüvvə fırlanma oxundan müəyyən məsafədə şəkil

müstəvisinə perpendikulyar istiqamətdə təsir etməlidir. Şəkil 6.1-də göstərilən
F₃ və F₄
qüvvə-

ləri cismi 00^' oxu ətrafında fırlada bilər. Fırlanma oxundan müxtəlif məsafədə yerləşən cismin
hissəciklərinin xətti sürət və təcilləri müxtəlif olur, lakin bucaq sür'ətləri isə eyni olur.
Fırlanma hərəkətini xarakterizə edən əsas kəmiyyətlər: qüvvə momenti, ətalət momenti, im- puls momenti və qüvvə momenti impulsdur.

r

i
Tutaq ki, bərk cismin m_i kütlə hissəsi fırlanma oxundan ^→

məsafədədir (şəkil 6.2). Bu

→

m_i –yə təsir edən daxili və xarici qüvvələrin

əvəzləyicisini
bilərik:
^fi ilə göstərək. Onda Nyutonun 2-ci qanununa əsasən yaza

Δm ^d→  ^→

6.1

i _f
i _dt i

Bu tənliyin hər tərəfini vektorial olaraq r_i
radius vektoruna vuraq:
^mi

^{→ d→} 

^{→ →}   

Şəkil 6.2


_r_i m_i 
i _
dt _
r_i  f_i
6.2



(6.2) düsturunun sağ tərəfi verilmiş cisim ele_men_→t_inə təsir edən qüvvə momentini verir. Yəni
→

M_i

i

i
(6.2)-ni aşağıdakı kimi də yazmaq olar:
 r^→  f
6.3

^r^→  Δm  ^dυ→ ^  ^d r^→  Δm υ^→   ^{ dr}→ Δm υ^{→ }  ^→

_ i i _
i i i _
i i _
ΔM_i

_ dt _ dt _ dt _
Bu düsturda sağ tərəfdəki axırıncı ifadə iki kolleniar vektorların vektorial hasili olduğundan 0-a bərabərdir. Yəni

 ^dr→ _m ^→  _^→
m ^→  0

Onda,
_ i

_ dt
^{i i}  ^{ i  i i}


^d r^→ Δm υ^→   ^→

6.4

dt ⁱ
i i ^ΔMi

alarıq. Burada
r^→  m ^→
 hasili impuls momenti adlanır və ^→ ilə işarə olunur. Onda belə

yaza bilərik:
i i i
i


^→ ^→  ^→   

ΔΖ_i 
r_i Δm_i_i
6.5

Bu ifadədən görünür ki, cisim elementinin impulsunun həmin elementin radius vektoruna ha- sili impuls momenti verir. Bunu nəzər alsaq (6.4)-ü aşağıdakı kimi yaza bilərik:

d _
→ _ →
6.6

_dt ΔΖ_i
ΔM_i

Deməli, cisim elementinə təsir edən qüvvə momenti həmin elementin impuls momentinin zamana görə birinci tərtib törəməsinə bərabərdir.

(6.6)-nı bütün bərk cisim üçün yazsaq:

_d ⁿ → ⁿ →
n ^→  ^→ ;
ⁿ _ → _ →

_{dt }ΔΖ_i  _ΔM_i
və _{ i}
i  ^Mi ^M

olduğunu nəzərə alsaq;
i1
i1


d^{→ →}

M

dt
i1
i1
6.7

alınar. Bu fırlanma hərəkəti dinamikasının əsas tənliyi adlanır.

Fırlanma hərəkətinin kəmiyyətlərindən biri də ətalət momentidir. Ətalət momenti bərk cismin ^{fırlanmasının ətalətliliyini xarakterizə edir: Kütləsi} m ^{olan maddi nöqtənin oxa nəzərən ətalət} momenti, həmin maddi nöqtənin kütləsi ilə fırlanma oxundan olan məsafənin kvadratı ^{hasilinə deyilir və} J ^{hərfi ilə işarə edilir:}

J  mr²
6.9 

Şəkil 6.3-də göstərilən cismin bütün elementar hissələrinin ətalət momentlərinin cəmi:
J  m  r²  m  r ²      m  r ²
1 1 2 2 n n
n

i i
J  _m r ²
6.10 

i1
Cismin kütləsi kəsilməz paylanarsa ətalət momentini hesablamaq üçün inteqraldan istifadə olunur.
Misal üçün R –radiuslu silindrik səthin oxa nəzərən
2 ^R 3 ^R4

ətalət momenti:
J  _ dJ  _ r
^{dm } _ ^{2hr dr  2h} və

4
0

m  R²h
olar.
olduğunu nəzərə alsaq:
J  ¹ mR² 2

6.11

Şəkil 6.3

Şteyner teoremindən istifadə edərək istənilən cismin ətalət mərkəzindən keçən oxa nəzərən ətalət momenti

0
məlumdursa, bu oxa paralel olan oxa nəzərən ətalət momentini hesablamaq olar. Həmin teoremə

görə
J  J  mL²
olur. Burada, m - cismin kütləsi, ^L -oxlar arasındakı məsafədir.

Bəzi cisimlərin ətalət momentləri aşağıdakı düsturlarla təyin edilir:

1. 
   Konusun ətalət momenti:
   

J  ³
10
mR² ;

2. 
   Kürənin ətalət momenti:
   

J  ² mR² ; 5

3. 
   Nazik lövhənin ətalət momenti:
   

J  ¹ mR² ; 4
Əgər cisim tərpənməz ox ətrafında sabit  bucaq sürəti ilə fırlanırsa, onun kinetik enerjisi

^{n n} Δm ^2
n Δm  ²  r ²  _{ }

E_k  _ΔE_ki
i1
 _
i1
^{i i} _{ } i i
² i1 ²
6.12

i i
olar. Burada _^{m r2  J}
ətalət momentini verir. Bunu nəzərə alsaq,


J ²
E_k
2
6.13

olar. Əgər cisim irəliləmə hərəkətində, həm də fırlanma hərəkətində iştirak etsə, bu cisimin kinetik enerjisi
_ m ² _ J ² _{ }

^Ek 2 2
olar.
6.14

Fırlanma hərəkətində kütlə rolunu ətalət momenti oynayır.

12. 
    İmpuls momenti və onun saxlanması qanunu.
    

Fırlanma hərəkətini xarakterizə edən əsas kəmiyyətlər: qüvvə momenti, ətalət momenti, impuls momenti və qüvvə momenti impulsdur.

r

i
Tutaq ki, bərk cismin m_i kütlə hissəsi fırlanma oxundan ^→

məsafədədir (şəkil 6.2). Bu

→

m_i –yə təsir edən daxili və xarici

qüvvələrin əvəzləyicisini ^fi ilə göstərək. Onda Nyutonun 2-ci

qanununa əsasən yaza bilərik:
^mi

d^{→ →}

Δm_i ⁱ  f_i
dt
6.1
Şəkil 6.2

Bu tənliyin hər tərəfini vektorial olaraq r_i
^r^→m  ^d→ ^  r^→  ^→  6.2

radius vektoruna vuraq:

_ i
ⁱ dt ^_
i ^fi



→
M_i

 r^→  f

6.3
(6.2) dü_stur_→u_nun sağ tərəfi verilmiş cisim elementinə təsir edən qüvvə momentini verir. Yəni

i


i

(6.2)-ni aşağıdakı kimi də yazmaq olar:

^r^→  Δm  ^dυ→ ^  ^d r^→  Δm υ^→   ^{ dr}→ Δm υ^{→ }  ^→

_ i i _
i i i _
i i _
ΔM_i

_ dt _ dt _ dt _
Bu düsturda sağ tərəfdəki axırıncı ifadə iki kolleniar vektorların vektorial hasili olduğundan 0-a bərabərdir. Yəni

 ^dr→ _m ^→  _^→
m ^→  0

_ i
_ dt
Onda,
^{i i}  ^{ i  i i}


^d r^→ Δm υ^→   ^→

6.4

dt ⁱ
i i ^ΔMi

alarıq. Burada
r^→  m ^→  hasili impuls momenti adlanır və ^→ ilə işarə olunur. Onda belə

yaza bilərik:
^{i i i} i

^→  r^→ Δm ^→  6.5
^ΔΖi i i i
Bu ifadədən görünür ki, cisim elementinin impulsunun həmin elementin radius vektoruna ha- sili impuls momenti verir. Bunu nəzər alsaq (6.4)-ü aşağıdakı kimi yaza bilərik:

d _
→ _ →
6.6

_dt ΔΖ_i
ΔM_i

Deməli, cisim elementinə təsir edən qüvvə momenti həmin elementin impuls momentinin zamana görə birinci tərtib törəməsinə bərabərdir.

(6.6)-nı bütün bərk cisim üçün yazsaq:

_d ⁿ → ⁿ →
n ^→  ^→ ;
ⁿ _ → _ →

_{dt }ΔΖ_i  _ΔM_i
və _{ i}
i  ^Mi ^M

i1
i1
i1
i1

olduğunu nəzərə alsaq;


d^{→ →}

M

dt
6.7

alınar. Bu fırlanma hərəkəti dinamikasının əsas tənliyi adlanır.

_→Əgər xarici qüvvələrin momenti sıfıra bərabərdirsə, yə'ni sistem qapalıdırsa,

^{d  0,} yaxud ^→  const

dt

6.8

olar. (6.8) qapalı sistem üçün impuls momentinin saxlanma qanununu ifadə edir. Qapalı sistem təşkil edən cisimlərin impuls momentləri cəmi sabit qalır.

13.