Balıqçılıq ixtisası. Riyaziyyat fənnindən imtahan sualları

Ekstremumum varlığının kafi və zəruri şərtləri.

Teorem 1 (ekstremumun zəruri şərti). Əgər x ₌ x₀, y ₌ y₀ olduqda  funksiyasının ekstremumu varsa, onda arqumetlərin həmin qiymətlərində z funksiyasının birinci tərtib xüsusi törəmələri varsa sıfra çevrilirlər və ya xüsusi törəmələr yoxdur.
Tutaq ki, müəyyən bir nöqtədə  funksiyasının xüsusi törəmələri var və sıfra bərabərdirlər:  ,  və ya həmin nöqtədə bu törəmələr yoxdur. Onda həmin nöqtəyə  funksiyasının böhran nöqtəsi deyilir. Əgər funksiyanın hər hansı bir nöqtədə eks­tremumu varsa, onda bu yalnız böhran nöqtəsində ola bilər.
Tutaq ki,  nöqtəsi funksiyasının böhran nöqtəsidir. Bu nöqtədə ikinci xüsusi törəmələrin qiymətlərini ,, ilə işarə edək:
;  ;  .
Teorem 2 (ekstremumun kafi şərti). Tutaq ki,  nöqtəsinin daxil olduğu bir oblastda  funksiyasının üç tərtibə qədər (üç daxildir) bütün xüsusi törəmələri kəsilməzdir; bundan başqa, tutaq ki,  nöqtəsi  funksiyasının böhran nöqtəsidir, yəni
,  .

3. 
   İbtidai funksiya.
   

İbtidai funksiya (və ya qeyri müəyyən inteqral; törəmənin əksi) verilmiş aralığın bütün nöqtələrində F(x)=f'(x) bərabərliyini ödəyən funksiya. F(x) funksiyasına həmin aralıqda f(x) funksiyasının ibtidai funksiyası deyilir.
Nümunə: Göstərək ki, {\displaystyle F(x)=3F(x) = 3x⁴ funksiyası (-&;+&) araliğinda{\displaystyle (-\infty ;+\infty )} f(x) =12x³ funksiyasinin ibtidai funksiyasıdır.
F’(x) = 3(x⁴)’= 3(x⁴)’ = 3 • 4x³ = 12x³ = f(x)
Doğrudan da aralığının istənilən nöqtəsində bərabərliyi ödənilir. Tutaq ki funksiyası verilmiş aralıqda kəsilməz funksiyasının ibtidai funksiyasıdır. Onda ixtiyarı sabitı üçün funksiyası da həmin aralıqda funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.
Qeyri müəyyən inteqralın (ibtidai funksiya) aşağıdakı xassələri var.
Qeyri müəyyən inteqralın törəməsi inteqralaltı funksiya diferensialı isə inteqralaltı ifadəyə bərabərdir:
(f(x)dx)’ = f(x)
d(f(x)dx) = f(x)dx
İsbatı: Tutaq ki, F(x) funksiya ibtidai f(x)-sin funksiyasıdır: F(x)=f(x). Onda
F(x) dx = F(x) + C yaza bilərik. Bu bərabərliyin hər iki tərəfindən törəmə alsaq,
F(x) dx= (F(x) + C)’ = F’ (x) + C’
yəniki f(x) dx = f(x).

4. 
   Xətti tənliklər sisteminin matris üsulu ilə həlli.
   

Xətti tənliklər sistemi mövzusunun elementləri hələ orta məktəbdə tədris olunmağa başlayır. Ən sadə xətti tənliklər sistemi
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
şəklində olan sistemdir. Burada a1, a2, b1, b2, c1, c2 {\displaystyle a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}}verilmiş əmsallar, {\displaystyle x} x və y{\displaystyle y} isə dəyişənlərdir. Aydındır ki, hansı tənliyi birinci və hansını ikinci yazmağın əhəmiyyəti yoxdur. Ona görə də a1 ≠ 0 {\displaystyle a_{1}\neq 0}qəbul edə bilərik. Orta məktəbdə belə sistemin həlli üçün təklif olunan üsullardan biri cəbri toplama üsulu adlanan üsuldur. Bu üsulun mahiyyəti aşağıdakı kimidir. Alınan qiyməti birinci tənlikdə yerinə yazmaqla x{\displaystyle x}-i də tapmaq olar. Bu üsul yuxarıdakı sistemi tamamilə araşdırmağa imkan verir. Bir sıra praktik məsələlərlə əlaqədar daha mürəkkəb xətti tənliklər sistemi meydana çıxır. Belə sistemlərdə dəyişənlərin və tənliklərin sayı müxtəlif və böyük ədədlər ola bilər.
Əgər xətti tənliklər sistemində bütün sərbəst hədlər sıfra bərabər olarsa, onda belə sistem bircins xətti tənliklər sistemi adlanır. Bircins olmayan sistemə qeyri-bircins sistem deyilir. Qeyri-bircins sistemində sərbəst hədlərin sıfırla əvəz olunması nəticəsində alınan sistemə-ə uyğun bircins xətti tənliklər sistemi deyilir.