Ağirlik merkezi ve alan atalet momenti

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTİ
AĞIRLIK MERKEZİ (CENTROID)
Ağırlık merkezi paralel kuvvetlerden ortaya çıkan geometrik bir kavramdır. Yalnızca paralel kuvvetlerin ağırlık merkezi vardır. Ağırlık merkezi bir fiziksel cismin veya parçacıklar sisteminin tüm ağırlığının toplandığı nokta olarak düşünülür. Düzgün geometrik cisimlerde eğer simetri ekseni varsa ağırlık merkezi bu simetri ekseni üzerindedir. Eğer cisme ait iki veya üç simetri ekseni varsa ağırlık merkezi bu eksenlerin kesişim noktasında yer alır.

Bir, iki veya üç boyutlu cisimler analitik fonksiyonlar olarak tanımlanmış ise bunların ağırlık merkezleri integral yoluyla hesaplanır. Birkaç cismin birleşmesiyle oluşmuş cisimlere kompozit cisim adı verilir. Bu tür cisimlerin ağırlık merkezleri de aşağıdaki gibi hesaplanır:

Çizgi (Line-a thin rod)		Alan (Area-a flat plate with constant thickness)		Hacim (Volume-a sphere or a cone)
	Kompozit		Kompozit		Kompozit

BAZI GEOMETRİK ŞEKİLLERİN AĞIRLIK MERKEZLERİ

1. Çeyrek Çember Şeklinde İnce Çubuk





2
r=yarıçap
. Çember Yayı

3. Çeyrek Daire




A= dA=dd

4. Yarım Daire

A= dA=dd

5. Üçgen

dA=w^.dy

6. Parabol

7

. Bir eğri ile doğru arasında kalan alan

ALAN ATALET (EYLEMSİZLİK) MOMENTİ

Etkidikleri alan içerisinde düzgün olarak dağılmış kuvvetlerin genelde bu alan içinde veya ona dik bir düzlemde yer alan bir eksene göre momentlerinin hesaplanması gerekir. Çoğunlukla bu kuvvetlerin birim alan başına şiddetleri (basınç veya gerilme olarak adlandırılır) kuvvetin etkime doğrultusunun moment ekseninden olan uzaklığıyla doğru orantılıdır. Bu şekilde, elemanter bir alana etkiyen elemanter bir kuvvet, mesafe x diferansiyel alan ile orantılı olur:
dP ≈ d , dP=dF/dA , dF/dA ≈ d , dF ≈ ddA
Elemanter moment ise mesafe²  diferansiyel alan ile orantılı olur: dM=d²dA
Böylece toplam moment: ∫dM=∫ d²dA , M=∫ d²dA . Bu integrale “alan atalet (eylemsizlik) momenti” veya alan ikinci momenti” adı verilir.
Atalet momenti hız, ivme veya kuvvet gibi fiziksel bir büyüklük olmayıp yalnızca hesap kolaylığı sağlamaya yöneliktir; alanın geometrisinin bir fonksiyonudur. Dinamikte bir alanın ataleti gibi bir kavram olmadığından atalet momentinin herhangi bir fiziksel anlamı yoktur. Fakat mekanikte, bir kirişin eğilmesinde, bir milin burulmasında, bir makina veya yapı elemanının herhangi bir kesitindeki gerilmelerin hesaplanmasında atalet momenti kullanılır.
Dik (Kartezyen) ve Polar (Kutupsal) Alan Atalet Momentleri ve Çarpım Alan Atalet Momenti

Tanımı gereği dA alanının x ve y eksenlerine göre alan atalet momentleri sırasıyla dI_x=y²dA ve dI_y=x²dA ‘dir. Toplam A alanının bu eksenlere göre alan atalet momentleri ise,

I_x=y²dA A alanının x eksenine göre atalet momenti

I_y=x²dA A alanının y eksenine göre atalet momenti

Bu atalet momentlerine dik (kartezyen) alan atalet momentleri adı verilir.

z eksenine veya O kutbuna göre dA alanının atalet momenti ise yine tanım gereği dI_z (veya dI_O)=r²dA ‘dır. Toplam A alanının z eksenine göre atalet momenti ise,

I_z (=I_o) =r²dA A alanının z eksenine göre polar alan atalet momenti
z ekseni alanı içeren düzleme dik olup bu düzlemi O noktasında kestiği için bu momente O noktasına göre atalet momentine kutupsal (polar) atalet momenti de denir. r²=x²+y² oluğundan I_o=I_z=I_x+I_y bağıntısı geçerlidir.
( r²dA=y²dA+x²dA )
A alanına ait çarpım alan atalet momenti ise,
I_xy=xydA
olarak tanımlanır.
Alan atalet momentlerine ait özellikler:
1. Bir alanın I_o, I_x , I_y atalet momentleri daima (+) değer alır.

2. I_xy ise (), 0 veya (+) olabilir.

3. Tüm atalet momentlerinin birimi uzunluk için alınan birimin 4. kuvvetidir (L⁴).

4. Bir alanın sahip olabileceği en küçük atalet momenti değeri bu alanın ağırlık merkezinden geçen eksenlerden birine göre gerçekleşir. Bir alanın bir eksene göre atalet momenti, bu eksen ağırlık merkezinden uzaklaştıkça büyür.

Bir alanın dağılımı, ağırlık merkezinden geçen eksenlere ne kadar yakın ise alanın atalet momenti değeri o kadar küçük olur.


A

A

A

y

y

y

y

x

A=36 L²


x

x

x

I_x=103.13 L⁴

I_x=108 L⁴

I_x=243 L⁴

I_x=752 L⁴


Bir Alanın Jirasyon (Atalet – Eylemsizlik) Yarıçapı
x eksenine göre atalet momenti I_x olan A alanının x eksenine göre paralel ince bir şeritte toplandığını varsayalım. Bu şerit alanın x eksenine göre momenti yine I_x ise şerit x ekseninden I_x=k_x²A bağıntısı ile belirlenecek bir k_x uzaklığına konmalıdır. k_x uzaklığına “alanın x eksenine göre jirasyon yarıçapı” adı verilir. y ve z eksenleri için de benzer şekilde jirasyon yarıçapları elde edilir.






x

PARALEL EKSENLER (STEINER) TEOREMİ

Eğer herhangi bir eksene göre bir alanın atalet momenti belirlenmiş ise, bu eksene paralel olan başka bir eksene göre alanın atalet momenti Steiner Teoremi ile belirlenebilir:
Şekilde dA elemanter alanın x eksenine göre atalet momenti:

Tüm A alanına genişletildiğinde:

Paralel eksenler teoremi kullanılırken dikkat edilmesi gerekli iki nokta:

1. 
   İki eksen mutlaka birbirine paralel olmalı
   
2. 
   Eksenlerden biri mutlaka alanın ağırlık merkezinden geçmelidir.
   

Eğer ele alınan eksenler birbirine paralel ama ikisi de ağırlık merkezinden geçen eksen değil ise bu durumda atalet momenti önce ağırlık merkezinden geçen eksene taşınmalı daha sonra istenen eksene taşınmalıdır.

Paralel eksenler teoremi jirasyon yarıçaplarına da uygulanabilir:


ASAL ATALET MOMENTLERİ, ASAL ATALET EKSENLERİ VE EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ

Mekanikte sıklıkla belirli bir açıda döndürülmüş bir eksen takımına göre atalet momentlerin hesaplanması istenir.

Çarpım atalet momenti bir alanın eğik düzlemlere göre atalet momentini hesaplamada kolaylık sağlar. Bu yaklaşımdan, momentin maksimum ve minimum olduğu eksenleri belirlemede de yararlanılır.
Şekilden, alanın x' ve y' eksenlerine göre atalet momentleri,

Trigonometrik bağıntılar kullanılarak,

I_x, I_y ve I_xy cinsinden,

elde edilir. Benzer şekilde eğik düzlemlere göre çarpım atalet momenti,

Trigonometrik bağıntılar,

I_x, I_y ve I_xy cinsinden çarpım atalet momenti,

I'_x ve I'_y ‘yü maksimum ya da minimum yapan açı I'_x veya I'_y ‘nün ’ya göre türevini alıp sıfıra eşitleyerek bulunur.

Bu yeni bulunan eksenlere “asal atalet eksenleri” adı verilir.  için iki değer bulunur. Bu değerlerden biri maksimum alan atalet momenti değerini, diğeri ise minimum alan atalet momenti değerini verir.

Denklemlere 2 yerine 2 yerleştirildiğinde çarpım atalet momenti I'_xy sıfır olur. I'_x ve I'_y ise “asal atalet momentleri” haline gelirler.

TEMEL GEOMETRİK ŞEKİLLERİN ALAN ATALET MOMENTLERİ

1. DİKDÖRTGEN










2. KARE

3. ÜÇGEN

dA=n^.dy
Benzer üçgenlerden,

4. DAİRE

dA=2rdr

Simetriden dolayı;

5. YARIM DAİRE








6. ÇEYREK DAİRE

ALAN ATALET MOMENTİ UYGULAMALARI

*







*


*






Eğer ağırlık merkezine ait iki dik eksenden en az biri cismin simetri ekseni ise bu eksenlere göre çarpım atalet momenti sıfır olur.








*

Farklı konfigürasyonlar için çarpım atalet momentleri

*