Tasodifiy miqdorlar haqida tushunchalar

Matematik kutilishning ehtimoliy ma’nosi.
Faraz qilaylikki, n ta sinash o‘tkazilgan bo‘lib, ularda X tasodifiy miqdor marta qiymat, marta qiymat , …, marta qiymat qabul qilgan, shu bilan birga bo‘lsin. U holda X qabul qilingan barcha qiymatlar yig‘indisi quyidagigi teng.

Tasodifiy miqdor qabul qilgan barcha qiymatlarning arifmetik o‘rtacha qiymati ni topaylik, buning uchun topilgan yig‘indini sinashlarning jami soniga bo‘lamiz:

Yoki
(1.1.1.1)
nisbat qiymatning nisbiy chastotasi, nisbat qiymatning nisbiy chastotasi va h.k ekanligini nisbatga olib , (1.1.1.2) munosabatni quyidagicha yozib olamiz:
(1.1.1.2)
Sinashlar soni yetarlicha kata deb faraz qilaylik. U holda nisbiy chastota taqribiy hodisaning ro‘y berish ehtimoliga teng.

(1.1.1.2) munosabatda nisbiy chastotalarni mos ehtimollar bilan almashtirib quyidagini hosil qilamiz:

Bu taqribiy tenglikning o‘ng tomoni M(X) dir.
Shunday qilib,

Hosil qilingan natijaning ehtimoliy ma’nosi quyidagicha: matematik kutilish tasodifiy miqdorning kuzatilayotgan qiymatlarining arifmetik o‘rtacha qiymatiga taqriban teng.

2. 
   Dispersiya.
   

Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi.
Amaliyotda ko‘pincha tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlarini uning o‘rtacha qiymati atrofida tarqoqligini baholash talab qilinadi. Masalan, artilleriyada otilgan snaryadlar urib tushurilishi lozim bo‘lgan nishon atrofiga qanchalik yaqin tushishini bilish muhimdir.
Birinchi qarashda, tarqoqlikni baholash uchun eng soda yo‘l tasodifiy miqdor chetlanishining mumkin bo‘lgan barcha qiymatlarini hisoblash, keyin uning o‘rtacha qiymatini topishdan iboratdek tuyuladi. Ammo bunday yo‘l hech qanday natija bermaydi, chunki chetlanishning o‘rtacha qiymati, ya’ni M[X-M(X)] istalgan tasodifiy miqdor uchun nolga teng.
Bu mulohazalar mumkin bo‘lgan chetlanishlarni ularning absolyut qiymatlari yoki kvadratlari bilan almashtirish maqsadga muvofiqligi haqida darak beradi. Amalda ham shunday qilinadi. Mumkin bo ‘lgan chetlanishlarni ularning absolyut miqdorlar bilan ish tutishga to‘g‘ri keladi, bu esa ba’zan jiddiy qiyinchiliklarga olib keladi. Shuning uchun ko‘pincha boshqacha yo‘l tutiladi, ya’ni chetlanish kvadratining o‘rtacha qiymati hisoblanadi va uni odatda dispersiya deyiladi.
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi (tarqoqligi) deb , tasodifiy miqdorni o‘zining matematik kutilishidan chetlanishi kvadratining matematik kutilishiga aytiladi:

Tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan bo‘lsin:

U holda chetlanish kvadrati quyidagi taqsimot qonuniga ega bo‘ladi:

Tarifga ko‘ra dispersiya quyidagicha bo‘ladi:

Shunday qilib, dispersiyani hisoblash uchun chetlanish kvadratining mumkin bo‘lgan qiymatlarini ularning ehtimollariga ko‘paytmalarini ularning ehtimollariga ko‘paytmalari yig‘indisini hisoblash kifoya.