Mustaqil ish Mavzu: Cheksiz kо‘paytmalar Fan
Yüklə 49,33 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- 3. Cheksiz kо‘paytmaning yaqinlashuvchi bо‘lishlik tushunchasini tengsizlik yordamida ham ifodalash.
- 4. Cheksiz kо‘paytmalar yaqinlashishining asosiy belgisi (zaruriy va yetarli shartlari).
- Teorema
| Misol. 1).
cheksiz kо„paytmani qaraymiz. Bunda bо„lgani uchun Demak, qaralayotgan cheksiz kо„paytma yaqinlashuvchi. 2). cheksiz kо„paytmani qaraymiz. Bunda va Demak, bu yuqorida qaralgan 2-holga asosan uzoqlashuvchi. 3). cheksiz kо„paytmani qaraymiz. Bunda bо„lib juft son bо„lsa, bо„lib toq son bо„lsa, Demak, mavjud emas va bu yuqorida qaralgan 3-holga asosan uzoqlashuvchi. 3. Cheksiz kо‘paytmaning yaqinlashuvchi bо‘lishlik tushunchasini tengsizlik yordamida ham ifodalash. Cheksiz kо„paytmaning yaqinlashuvchi bо„lishlik tushunchasini tengsizlik yordamida ham ifodalash mumkin. Haqiqatan ham agar (1) cheksiz kо„paytma biror soniga yaqinlashsa, (3) deb yoza olamiz.Bu holda ning о„sishi bilan nisbat birga intiladi: Aksincha, agar ning о„sishi bilan nisbat birga intilsa, u holda (1) kо„paytma soniga yaqinlashadi. Boshqacha sо„zlar bilan aytganda, agar ixtiyoriy yetarlicha kichik soni uchun shunday bir sonini topish mumkin bо„lsaki, bо„lganda bajarilsa, (1) cheksiz kо„paytmani soniga yaqinlashuvchi deyiladi. 4. Cheksiz kо‘paytmalar yaqinlashishining asosiy belgisi (zaruriy va yetarli shartlari). Cheksiz kо„paytmalar nazariyasida uning hadlarini (kо„paytuvchilarini) bilgan holda kо„paytmaning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlash asosiy masala hisoblanadi. Biz faqat kelgisi tekshirishlarimizda zarur bо„lgan birta yaqinlashish belgisini qarash bilan chegaralanamiz. Bu belgi cheksiz kо„paytmaning yaqinlashuvchi ekanligini unga mos qatorning yaqinlashuvchi ekanligidan aniqlash imkonini beradi. Teorema. Agar (4) qator absolyut yaqinlashuvchi bо„lsa, u holda ∏ (5) kо„paytma ham yaqinlashuvchi bо„ladi. Isboti. Teoremaning shartiga kо„ra (4) qator absolyut yaqinlashuvchi, ya‟ni qator yaqinlashuvchi. Shuning uchun ham va biz umumiylikni chegaralamagan holda deb olishimiz mumkin. Avvalo haqiqiy son bо„lsin. U holda Bu yerdan ketma-ketlikning yaqinlashishi kelib chiqadi. Haqiqatan ham О„ng tomondagi qator shartga kо„ra yaqinlashuvchi va demak, chap tomoni ham yaqinlashuvchi bо„ladi. Bundan esa (5) ning xususiy kо„paytmalaridan tuzilgan ketma-ketlikning yaqinlashuvchi va (5) ning ham yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Endi -ixtiyoriy kompleks son bо„lsin. Bu holda ikkita haqiqiy sonlar ketma-ketliklari (6) (7) ning yaqinlashuvchi ekanliklarini kо„rsatishimiz kerak. Tushunarliki (6) ning yaqinlashuvchi bо„lishi uchun | | ketma-ketlikning yaqinlashuvchi bо„lishi zarur va yetarlidir. Bu yerda va | bо„lgani uchun | ning yaqinlashishi yuqorida isbotlanganidan kelib chiqadi. (7) ning yaqinlashishi esa yetarlicha katta uchun tengsiizlikning о„rinli ekanligidan keldib chiqadi. kо„paytmada barcha larni bir xil ishorali haqiqiy sonlar deb hisoblab ∑ qatorning yaqinlashuvchi bо„lishligi yuqoridagi kо„raytmaning yaqinlashuvchi bо„lishligining yetarli sharti bо„libgina qolmasdan balki uning yaqinlashishining zaruriy sharti ham bо„lishini osonlik bilan kо„rsatish mumkin. Haqiqatan ham, agar sonlari musbat va qaralayotgan kо„paytma yaqinlashuvchi bо„lsa, u holda sonlar ketma- ketligi о„sib borib biror musbat о„zgarmas son dan kichik bо„lib qolaverishi kerak. ning ifodasidagi qavslarni ochib biz yig„indining ham ning qanday bо„lishidan qat‟iy nazar dan kichik bо„lishi kerak ekanligini kо„ramiz. Bu esa ∑ qator yaqinlashuichi deganidir. Agar
qatorni uzoqlashuvchi deb olib ∏ kо„paytmaning ham uzoqlashuvchi ekanligini kо„rsatamiz. Haqiqatan ham, ning cheksiz о„sishi bilan ifoda ga intiladi. Chunki umumiy hadi bо„lgan qator uzoqlashuvchi (biz bu yerda ning biror qiymatidan boshlab deb hisoblaymiz, aks holda sonlari orasida cheksiz kо„p musbat va manfiylari bо„lgani uchun kо„paytmanig uzoqlashuvchi ekanligi о„z-о„zidan tushunarli bо„ladi). Bu yerdan ning cheksiz о„sishi bilan ning nolga intilishi kelib chiqadi va demak, bizning kо„paytmamiz uzoqlashuvchi. Agar kо„paytma yaqinlashuvchi bо„lsa, (5) kо„paytmani absolyut yaqinlashuvchi deb atashga shartlashib olamiz. Isbotlanganiga asosan (5′) cheksiz kо„paytmaning yaqinlashishi qatorning yaqinlashishiga ekvivalent. Shunday qilib absolyut yaqinlashuvchi kо„paytma (5)ni bizning aniqlashimizda (5′) kо„paytmaning yaqinlashuvchi bо„lishlik talabini (8)- qatorning yaqinlashuvchi bо„lishlik talabi bilan almashtirish mumkin. Yüklə 49,33 Kb. Dostları ilə paylaş:
|