Toshkent Davlat Transport Universiteti Mustaqil ish Mavzu: Tekis yaqinlashuvchi

---

Toshkent Davlat Transport Universiteti Mustaqil ish Mavzu: Tekis yaqinlashuvchi
funksional qatorlar. Veyrshtrass alomati. Tekis yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari
Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar. Veyrshtrass alomati. Tekis yaqinlashuvchi
qatorlarning xossalari
Reja:
Funksional ketma-ketliklar
Funksional qator
Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar va xossalari
Darajali qatorlar.
Elementlari biror to`plamda f1(x), f2(x),… (1) funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo`lsin. Bu
ketma-ketlik funksional ketma-ketlik deb ataladi va {fn(x)} kabi belgilanadi. (1) ketma-
ketlikda fn(x) funksiya sha ketma-ketlikning umumiy hadi deyiladi.
X to`plamdan x0єX nuqtani olib, (1) ketma-ketlik har bir hadining shu nuqtadagi qiymatini
hisoblab, natijada f1(x0), f2(x0), …, fn(x0), … (2) sonlar ketma-ketligini hosil qilamiz.
Ta`rif. Agar {fn(x0)} sonlar ketma-ketligi yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsa, u holda
{fn(x)} funksional ketma-ketlik x0 nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi.Ta`rif.
Agar {fn(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamining har bir nuqtasida yaqinlashuvchi
(uzoqlashuvchi) bo`lsin, u holda u X to`plamda yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi.
Ba`zi hollarda funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi aniqlanish sohasiga teng
yoki uning bir qismi yoki bo`sh to`plam bo`lishi mumkin.
Aytaylik, X to`plam ( ) {fn(x)} funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi bo`lsin.
Unda X to`plamdan olingan har bir X nuqtada funksional ketma-ketlik sonlar ketma-
ketligiga aylanib, u yaqinlashuvchi, ya`ni chekli limit ga ega bo`ladi.

---

X to`plamdan olingan har bir X ga unga mos keladigan sonli [0, )ning chekli limitini mos
qo`ysak, unda funksiyaga ega bo`lamiz. Unda {fn(x)} funksional [0, ) ning limiti funksiyasi
deyiladi:=f(x) (3). Bu holda {fn(x)} funksional ketma-ketlik X sohada (X sohaning har bir
nuqtasida) f(x) ga yaqinlashadi deyiladi. Boshqacha aytganda, har qanday E0 son hamda
har qanday x(xєX) nuqta olganda ham shunday n natural son n (u olingan E va x larga
bog`liq) topiladiki, barcha nN uchun (4) tengsizlik bajariladi.
Ta`rif. Agar son olganda ham, faqat E ga bog`liq shunday n0 natural son topilsaki, barcha
nN uchun tengsizlik bajarilsa, {fn(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamda f(x) ga tekis
yaqinlashadi deyiladi.
2. Funksional qator
Biror X to`plamda (XcR) f1(x), f2(x),…,fn(x),… (1) funksional ketma-ketlik berilgan bo`lsin.
Ta`rif. (1) ketma-ketlik hadlarida tashkil topgan (2) ifoda funksional qator deyiladi. Bunda,
f1(x), f2(x),… funksiyalar (2) qatorning hadlari fn(x) esa uning umumiy hadi deyiladi.(2)
funksional qator hadlari yordamida tuzulgan ushbu:
S1(x)=f1(x)
S2(x)=f1(x)+f2(x)
………………..
Sn(x)=f1(x)+f2(x)+…+fn(x)
Yig`indilar ketma-ketligi funksional qatorning qismiy yig`indilar ketma-ketligi deyiladi.
Shuni takidlash lozimki, funksional qatorlarni o`rganish, funksional ketma-ketliklarni
o`rganishga ekvivalent.
Ta`rif. Agar da {Sn(x)} funksional ketma-ketlik x0 nuqtada (x0єX) yaqinlashuvchi
(uzoqlashuvchi) bo`lsa, (2) funksional qator x0 nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi)
deyiladi.
Misol. qatorning yaqinlashishini tekshiring va uning yig`indisini toping.
Yechish. Bu qator x ning hamma qiymatlarida yaqinlashuvchi. Haqiqatdan ham, x≠0
bo`lganda berilgan qator maxraji , 0
Agar x=0 bo`lsa, berilgan qatorning hamma hadlari nolga teng bo`lib yaqinlashuvchi va
S(0)=0/ shunday
qilib,Bu
misoldan
ko`rinadiki
qatorning hamma
hadlari
Rda
uzluksiz, qator esa yaqinlashuvchi, lekin qatorning yig`indisi uslishga ega.
Biz bundan keyin qanday shartlar bajarilganda hadlari uzluksiz funksiyalardan iborat
yaqinlashuvchi funksional qatorning yig`indisi uzliksiz bo`ladi degan masala bilan
shug`illanamiz.
(4) funksional qatorni qaraymiz. Bunda fn(n) funksiyalar X to`plamda berilgan bo`lib, x0єX
bo`lsin.
Ta`rif. Agar (5) funksional qator x=x0 nuqtada yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (4)

---

funksional qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.
Ta`rif. Agar X to`plamning har bir nuqtasida (5) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (4)
funksional qator X to`plamda absolyut yaqinlashuvchi deb ataladi
Ta`rif. Agar x=x0 nuqtada (4) qator yaqinlashuvchi bo`lib, (5) qator uzoqlashuvchi bo`lsa,
u holda (4) funksional qator x=x0 nuqtada shakli yaqinlashuvchi deyiladi.
Argument x ning (4) va (5) qatorlar yaqinlashadigan qiymatlari to`plami mos ravishda (4)
qatorning yaqinlashish va absolyut yaqinlashish sohasi deyiladi.
3. Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar va xossalariBiror (1) funksional qator berilgan
bo`lsin. Bu qator X to`plamda yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi (2) bo`ladi. Limit
ta`rifiga ko`ra, son uchun shunday N son topiladiki, barcha nN uchun (3) tengsizlik
bajariladi.
Ma`lumki, X to`plamdan olingan x ning qiymatiga qarab {Sn(x)} ketma-ketlik turlicha
bo`ladi. Binobarn, yuqorida eslatib o`tilgan limit ta`rifidagi N natural son olingan x ga ham
bog`liq bo`ladi. Agar bordi-yu ta`rifda N natural son faqat E ga bog`liq bo`lib, qaralayotgan
x nuqtaga bog`liq bo`lmasa, u holda {Sn(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamda S(x) ga
tekis yaqinlashuvchi deyiladi.
Ta`rif. Agar son olinganda ham shunday natural N son topilsaki, barcha nN va ixtiyoriy x
nuqtalar uchun bir vaqtda tengsizlik bajarilsa, holda (1) funksional qator X to`plamda
S(x)ga tekis yaqinlashadi deyiladi.
Ta`rif. Agar qatorning har bir hadi absolyut qiymati bo`yicha hadlari musbat bo`lgan biror
yaqinlashuvchi sonli qatorning mos hadidan katta bo`lmasa, bunday qator kuchaytirilgan
qator deyiladi.
Teorema. (1) funksional qator X to`plamda S(x)ga tekis yaqinlashishi uchun bo`lishi zarur
va yetarli.
Tekis yaqinlashish tushunchasi funksional qatorlar nazariyasida muhim rol o`ynaydi.
Qo`yida funksional qatorning tekis yaqinlashishini ta`minlaydigan Veyershtrass alomatini
isbotsiz keltiramiz.
Veyershtrass alomati. Agar (1) funksional qatorning har bir fn(x) hadi X to`plamda (4)
tengsizlikni qanoatlantirsa va (5) sonli qator yaqinlashuvchi bo`ladi.Tekis yaqinlashuvchi
qatorlarning xossalari:
10. Agar (1) funksional qatorning har bir fn(x) hadi (n=1,2,…) X to`plamda uzluksiz bo`lib,
bu funksional qator X to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`lib, u holda qatorning yig`indisi
S(x) ham shu to`plamda uzluksiz bo`ladi.20. Uzluksiz funksiyalardan tuzilgan tekis
yaqinlashuvchi qatorni hadma-had integrallash mumkin, ya`ni
(6) qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi esa (7) gat eng bo`ladi
30. Agar (1) qatorning har bir hadi [a,b] segmentda uzluksiz hosilaga ega bo`lib, bu
hosilalardan tuzilgan funksional qator [a,b]da tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda
funksional qator yig`indisi S(x) shu [a,b] segmentda S1(x) hosilaga ega va S1(x)= (8)
bo`ladi.
Eslatma. Tekis yaqinlashuvchi qatorni ba`zi kuchaytirilgan qator ham deb ataydilar.
Darajali qatorlar.
Funksional qatorlarning muhim xususiy holi darajali qatorlardir.
Ta`rif. Quyidagi a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+… (1) yoki a0+a1x+a2x2+…+anxn+…

---

(2) ko`rinishdagi funksional qator darajali qator deyiladi, bunda aK(K=0,1,2,…) o`zgarmas
sonlar darajali qatorning koeffitsentlari deyiladi.Teorema (Abel teoramasi).
1) Agar (2) darajali qator noldan farqli biror x0 qiymatda yaqinlashuvchi bo`lsa x ning
tengsizlikni qanoatlanturuvchi har qanday qiymatlarida (2) qator absolyut yaqinlashuvchi
bo`ladi.2) Agar (2) qator x1 qiymatda uzoqlashuvchi bo`lsa, x ning tengsizlikni
qanoatlantiruvchi har qanday qiymatlarida (2) qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
Teorema. Darajali qatorning yaqinlashish sohasi markazi koordinatalar boshida bo`lgan
intervaldan iboratdir.Ta`rif. Darajali qatorning yaqinlashish intervali deb – Rdan R gacha
bo`lgan shunday intervalda aytiladiki, bu interval ichida yotgan har qanday x nuqtada
qator yaqinlashadi, shu bilan absolyut yaqinlashadi, uning tashqarisidagi x nuqtalarda esa
qator uzoqlashadi (2-chizma). R soni darajali qatorning yaqinlashish radiusi deyiladi.
Ba`zi qatorlarning yaqinlashish intervali nuqtaga aylanishini (R=0), ba`zilarida esa 0x o`qni
butunlay o`z ichiga olishini (R= ) aytib o`tamiz.
Endi darajali qatorning yaqinlashish radiusini aniqlash usulini ko`rsatamiz.
darajali qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qatorni qaraymiz: (3)
musbat hadli qatorning yaqinlashishini aniqlash uchun Dalamber alomatidan
foydalanamiz. Faraz qilamiz limit mavjud bo`lsin. U holda Dalamber alomatiga asosan,
agar , ya`ni bo`lsin, (3) qator yaqinlashuvchi va agar , ya`ni bo`lsin, uzoqlashuvchi
bo`ladi.Demak, (2) qator bo`lganda absolyut yaqinlashadi.
Agar bo`lsa, bo`ladi va (3) qator uzoqlashadi.
Yuqoridagiga asosan interval (2) darajali qatorning yaqinlashish intervali ekanligi chiqadi,
ya`ni (4)
Yaqinlashish intervalini aniqlash uchun shunga o`xshash Koshining radikal alomatidan
foydalanish mumkin, u vaqtda (5)
Misol. darajali qatorning yaqinlashish sohasini toping.
Yechish. (4) formuladan foydalanamiz, bunda ; . U holda , bunda yaqinlashish intervali -2
X=1 da garmonik qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
Shunday qilib, xє(-3;1) da qarot absolyut yaqinlashuvchi, x=-3 da qator shartli
yaqinlashuvchi bo`ladi.
1-ta’rif. Agar ixtiyoriy 0 son olinganda ham, faqat
ga bog‘liq n0 natural son topilib,
ixtiyoriy x D va barcha nn0 larda |un (x)–f(x)|0 son uchun shunday n0 N son mavjud
bo‘lib, barcha n n0 , m n0 va ixtiyoriy x D nuqtalar uchun |un (x)-um (x)|
3-teorema. Agar {un (x)} funksional ketma-ketlikning har bir hadi D to‘plamda uzluksiz
bo‘lib, bu funksional ketma-ketlik D da tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda f(x) limit
funksiya ham D to‘plamda uzluksiz bo‘ladi.
4-teorema. Agar {un (x)} funksional ketma-ketlikning har bir hadi [a;b] kesmada uzluksiz
bo‘lib, bu funksional ketma-ketlik [a;b] da tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
1
,
2
,
… ,
,
…
𝑢 𝑥 𝑑 𝑥 𝑢 𝑥 𝑑 𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎
𝑢 𝑛 𝑥 𝑑 𝑥 𝑏 𝑎
ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi, uning limiti esa
ga teng bo‘ladi, ya’ni
𝑓 𝑥 𝑑 𝑥 𝑏 𝑎
lim
→
∞
=
. (5)
𝑛
𝑢 𝑛 𝑥 𝑑 𝑥
𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑 𝑥 𝑏 𝑎
5-teorema. Faraz qilaylik, [a;b] kesmada yaqinlashuvchi {un (x)} funksional ketma-ketlik
berilgan bo‘lib, uning limit funksiyasi f(x) bo‘lsin. Agar {un (x)} funksional ketma-ketlikning

---

har bir hadi [a;b] kesmada uzluksiz hosilaga ega bo‘lib, bu hosilalardan tuzilgan
𝑢
1 ′
𝑥
,
𝑢
2 ′
𝑥
,
𝑢
3 ′
𝑥
, … ,
𝑢 𝑛
′
𝑥
, … (6)
funksional ketma-ketlik [a;b] da tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda f(x) limit funksiya shu
[a;b] kesmada
𝑓
′
𝑥
hosilaga ega bo‘lib, {
𝑢 𝑛
′
𝑥
} ketma-ketlikning limiti
𝑓
′
𝑥
ga teng
bo‘ladi.
BA
JARDI