Mühazirə 5 XƏTTİ normalaşMIŞ FƏzalar

Mühazirə 5 XƏTTİ NORMALAŞMIŞ FƏZALAR

Yuxarıda gördük ki, həqiqi ədədlər çoxluğunda ədədin mütləq qiyməti, kompleks ədədin və vektorun modulu anlayışları bu çoxluqlarda məsafə anlayışını daxil etməyə imkan verir. Həmin çoxluqlarda məsafə anlayışının olması isə bu çoxluqlarda ardıcıllıqların və sıraların yığılması, limit, kəsilməzlik və funksiyanın törəməsi anlayışlarını daxil etməyə imkan veir.

Indi isə göstərəcəyik ki, istənilən xətti fəzada əsas xassələri modulun xassələrinə analoji olan elə kəmiyyət daxil etmək olar ki, bu kəmiyyət fəzada metrik fəza strukturu əmələ gətirsin və bu fəzalarda da elementlər ardıcıllığının yığılması və limiti kimi anlayışları təyin etmək mümkün olsun.

5.1. Normalaşmış fəzanın tərifi və sadə xassələri

Tutaq ki, – xətti fəzadır. İstənilən elementinə qarşı bu elementin norması adlanan və kimi işarə edilən mənfi olmayan kəmiyyət qarşı qoyaq, belə ki, aşağıdakı üç şərt ödənsin:

1) ; yalnız və yalnız olduqda mümkündür.
2)
3)
1)-3) şərtləri normanın aksiomları adlanır.
Əgər xətti fəzasında təyin olunmuş norma bu üç şərti ödəyərsə, onda -ə normalaşmış fəza deyilir.
Qeyd edək ki, verilmiş xətti fəzasında elementin normasını müxətlif üsullarla təyin etmək olar. Bu zaman müxtəlif normalara nəzərən alınmış normalaşmış fəzalar eyni elementlərdən təşkil edilməsinə baxmayaraq müxtəlif quruluşa malik ola bilərlər.
Verilmiş normalaşmış fəzasında istənilən elementləri arasındakı məsafəni

kimi təyin etmək olar. Təyin edilmiş bu məsafənin metrik fəza aksiomlarını ödədiyini asanlıqıa göstərmək olar. Doğrudan da, , olduqda , əgər olarsa, olar.
bərabərliyindən

olduğunu alırıq. Nəhayət,


üçbucaq aksiomunun doğru olduğunu alırıq. Beləliklə, hər bir normalaşmış fəzanın eyni zamanda metrik fəza olduğunu alırıq.
bərabərliyindən alırıq ki, hər bir elementin norması elementin sıfır elementdən olan məsafəsinə bərabərdir.
Qeyd edək ki, istənilən metrik fəzanın normalaşmış fəza olmasını hökm etmək doğru deyildir. Məsələn, yuxarıda baxdığımız bütün sonsuz ədədi ardıcıllıqlardan ibarət olan fəzası normalaşmış fəza deyildir. Bu fəzada kəmiyyətini elementinin norması olaraq qəbul etmək mümkün deyildir. Çünki, bu halda normanın ikinci aksiomunun ödənmədiyini görürük.
Üçbucaq aksiomundan alınan aşağıdakı mühüm bərabərsizliyi də qeyd edək:
(1)
Doğrudan da
.
Buradan

alırıq.
Sonuncu bərabərsizlikdə və -in yerini dəyişsək, alarıq:

Bu bərabərsizliklərdən (1) bərabərsizliyinin doğrulunu alırıq.
Normalaşmış fəzalarda da ümumi metrik fəzalarda olduğu kimi açıq və qapalı kürələri təyin edə bilərik:
– açıq kürə,
– qapalı kürə,
isə sfera adlanır.
Aydınıdır ki, .