Mpetencji do podejmowania samodzielnych decyzji dzielimy organy na
Yüklə 496,37 Kb.
|
|
441 7.1.1.3. Ciągi ograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 7.1.2. Granica ciągu liczbowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 7.2. Szeregi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 7.2.1. Ogólne twierdzenia dotyczące zbieżności szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . 443 7.2.1.1. Zbieżność i rozbieżność szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 7.2.1.2. Ogólne twierdzenia dotyczące szeregów zbieżnych . . . . . . . . . . . . 444 7.2.2. Kryteria zbieżności szeregów dodatnich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 7.2.2.1. Kryterium porównawcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 7.2.2.2. Kryterium ilorazowe d’Alemberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 7.2.2.3. Kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 7.2.2.4. Kryterium całkowe (Cauchy’ego) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 7.2.3. Szeregi bezwzględnie (absolutnie) i warunkowo zbieżne . . . . . . . . . . . . . 446 7.2.3.1. De?nicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 7.2.3.2. Własności szeregów bezwzględnie zbieżnych . . . . . . . . . . . . . . . 447 7.2.3.3. Szeregi naprzemienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 7.2.4. Pewne szczególne szeregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 7.2.4.1. Sumy niektórych szeregów liczbowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 7.2.4.2. Liczby Bernoulliego i liczby Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 7.2.5. Szacowanie reszty szeregów zbieżnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 7.2.5.1. Szacowanie za pomocą szeregu majoryzującego . . . . . . . . . . . . . 451 7.2.5.2. Szeregi naprzemienne zbieżne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 7.2.5.3. Szczególne szeregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 7.3. Szeregi funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 7.3.1. De?nicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 7.3.2. Zbieżność jednostajna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 7.3.2.1. De?nicja, twierdzenie Weierstrassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 7.3.2.2. Własności szeregów zbieżnych jednostajnie . . . . . . . . . . . . . . . . 453 7.3.3. Szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 7.3.3.1. De?nicja. Zbieżność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 7.3.3.2. Działania na szeregach potęgowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 7.3.3.3. Rozwinięcie w szereg Taylora, szereg Maclaurina . . . . . . . . . . . . 456 7.3.4. Wzory przybliżone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 7.3.5. Asymptotyczne szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 7.3.5.1. Równość w sensie asymptotycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 7.3.5.2. Asymptotyczne szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 7.4. Szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 7.4.1. Sumy trygonometryczne i szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 7.4.1.1. Pojęcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 7.4.1.2. Najważniejsze własności szeregów Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . 460 7.4.2. Wyznaczanie współczynników Fouriera dla funkcji o pewnym typie symetrii 461 7.4.2.1. Typy symetrii funkcji. Wzory na współczynniki szeregu Fouriera . . 461 7.4.2.2. Różne postacie rozwinięcia w szereg Fouriera . . . . . . . . . . . . . . 462 7.4.3. Wyznaczanie współczynników Fouriera za pomocą metod numerycznych . . 463 7.4.4. Szereg Fouriera i całka Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 7.4.5. Uwagi do tabeli zawierającej rozkłady w szereg Fouriera . . . . . . . . . . . . 464
465
8.1. Całka oznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
8.1.1. Funkcja pierwotna lub całka nieoznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
8.1.1.1. Całka nieoznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
8.1.1.2. Całki funkcji elementarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
8.1.2. Wzory na całkowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
8.1.3. Całkowanie funkcji wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
8.1.3.1. Całkowanie wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
8.1.3.2. Całki funkcji ułamkowych (wymiernych) . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3.3. Cztery przypadki mogące pojawić się przy rozkładzie na ułamki 470 proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 8.1.4. Całkowanie funkcji niewymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 8.1.4.1. Podstawienia mające sprowadzić zadanie do całek funkcji wymiernych 473 8.1.4.2. Całkowanie wyrażeń dwumiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 8.1.4.3. Całki eliptyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 8.1.5. Całkowanie funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 8.1.5.1. Podstawienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 8.1.5.2. Metody uproszczone w niektórych często spotykanych przypadkach . 477 8.1.6. Całkowanie funkcji przestępnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.1.6.1. Całki zawierające funkcje wykładnicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.1.6.2. Całki funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.1.6.3. Zastosowanie całkowania przez części . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.1.6.4. Całki funkcji przestępnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 8.2. Całka oznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 8.2.1. Podstawowe pojęcia, wzory i twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 8.2.1.1. De?nicja i istnienie całki oznaczonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 8.2.1.2. Własności całki oznaczonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 8.2.1.3. Inne twierdzenia dotyczące granic całkowania . . . . . . . . . . . . . . 483 8.2.1.4. Obliczanie całek oznaczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 8.2.2. Zastosowania całek oznaczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 8.2.2.1. Ogólny schemat zastosowania całki oznaczonej . . . . . . . . . . . . . 487 8.2.2.2. Zastosowania w geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 8.2.2.3. Zastosowania w mechanice i ?zyce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 8.2.3. Całki niewłaściwe. Całka Stieltjesa i całka Lebesgue’a . . . . . . . . . . . . . 493 8.2.3.1. Uogólnienia pojęcia całki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 8.2.3.2. Całki z nieskończonymi granicami całkowania . . . . . . . . . . . . . . 494 8.2.3.3. Całki funkcji nieograniczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 8.2.4. Całki zależne od parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 8.2.4.1. De?nicja całki z parametrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 8.2.4.2. Różniczkowanie pod znakiem całki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 8.2.4.3. Całkowanie pod znakiem całki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 8.2.5. Całkowanie przez rozwinięcie w szereg, funkcje specjalne . . . . . . . . . . . . 501 8.3. Całki krzywoliniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 8.3.1. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 8.3.1.1. De?nicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 8.3.1.2. Twierdzenie o istnieniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 8.3.1.3. Obliczanie całek krzywoliniowych pierwszego rodzaju . . . . . . . . . 505 8.3.1.4. Zastosowania całek krzywoliniowych pierwszego rodzaju . . . . . . . 505 8.3.2. Całka krzywoliniowa drugiego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 8.3.3. Całki krzywoliniowe trzeciego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 8.3.4. Warunki niezależności całki krzywoliniowej od drogi całkowania . . . . . . . 510 8.4. Całki wielokrotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 8.4.1. Całka podwójna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 8.4.1.1. Pojęcie całki podwójnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 8.4.1.2. Obliczanie całek podwójnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 8.4.1.3. Zastosowania całek podwójnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 8.4.2. Całki potrójne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 8.4.2.1. Pojęcie całki potrójnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 8.4.2.2. Obliczanie całek potrójnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 8.4.2.3. Zastosowania całek potrójnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 8.5. Całki powierzchniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 8.5.1. Całki powierzchniowe pierwszego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 8.5.1.1. Pojęcie całki powierzchniowej pierwszego rodzaju . . . . . . . . . . . . 521 8.5.1.2. Obliczanie całek powierzchniowych pierwszego rodzaju . . . . . . . . 523 8.5.1.3. Zastosowania całek powierzchniowych pierwszego rodzaju . . . . . . . 525 8.5.2. Całki powierzchniowe drugiego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 8.5.2.1. Pojęcie całki powierzchniowej drugiego rodzaju . . . . . . . . . . . . . 525 8.5.2.2. Obliczanie całek powierzchniowych drugiego rodzaju . . . . . . . . . . 526 8.5.2.3. Pewne szczególne zastosowanie całek powierzchniowych . . . . . . . . 528 9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 9.1. Równania różniczkowe zwycza jne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 9.1.1. Równania różniczkowe pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 9.1.1.1. Twierdzenie o istnieniu, pole kierunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 9.1.1.2. Podstawowe metody rozwiązywania równań różniczkowych . . . . . . 531 9.1.1.3. Równania różniczkowe uwikłane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 9.1.1.4. Całki osobliwe i punkty osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1.5. Przybliżone metody rozwiązywania równań różniczkowych pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
9.1.2. Równania różniczkowe wyższych rzędów oraz układy równań różniczkowych 541 9.1.2.1. Wstępne rozważania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 9.1.2.2. Obniżanie rzędu równania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 9.1.2.3. Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2.4. Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych o stałych współczyn- nikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
9.1.2.5. Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 549 9.1.2.6. Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu . . . . . . . . . . . . . . 552 9.1.3. Zagadnienia brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 9.1.3.1. Sformułowanie zagadnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 9.1.3.2. Podstawowe własności funkcji własnych i wartości własnych . . . . . 560 9.1.3.3. Rozwinięcie na funkcje własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 9.1.3.4. Przypadki osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 9.2. Równania różniczkowe cząstkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562 9.2.1. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . 562 9.2.1.1. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe pierwszego rzędu . . . . . . 562 9.2.1.2. Nieliniowe równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu . . . . 564 9.2.2. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu . . . . . . . . . . . . 9.2.2.1. Klasy?kacja i właściwości równań różniczkowych cząstkowych dru- giego rzędu w przypadku dwóch zmiennych niezależnych . . . . . . . 567
9.2.2.2. Klasy?kacja i własności równań różniczkowych drugiego rzędu więcej niż dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2.3. Metody rozwiązywania liniowych równań różniczkowych drugiego rzędu 570 9.2.3. Równania różniczkowe cząstkowe w naukach przyrodniczych i technice . . . 581 9.2.3.1. Postawienie problemu i warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . 581 9.2.3.2. Równanie falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3.3. Równanie przewodnictwa cieplnego i równanie dyfuzji w ośrodku jednorodnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
11.2.4. Numeryczne metody rozwiązywania równań całkowych Fredholma dru- 11.3.5. Konstrukcja dwóch szczególnie wygodnych dla danego jądra całkowego 12.2.2.4. Niektóre zastosowania twierdzenia Banacha o punkcie stałym . 664
12.2.2.5. Uzupełnienie przestrzeni metrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
12.2.3. Operatory ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
12.3. Przestrzenie unormowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
12.3.1. De?nicja przestrzeni unormowanej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
12.3.1.1. Aksjomaty przestrzeni unormowanych . . . . . . . . . . . . . . . 667
12.3.1.2. Własności przestrzeni unormowanych . . . . . . . . . . . . . . . . 667
12.3.2. Przestrzenie Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
12.3.2.1. Szeregi w przestrzeni unormowanej . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
12.3.2.2. Przykłady przestrzeni Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
12.3.2.3. Przestrzenie Sobolewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
12.3.3. Przestrzenie unormowane uporządkowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
12.3.4. Algebry unormowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
12.4. Przestrzenie Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
12.4.1. De?nicja przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
12.4.1.1. Iloczyn skalarny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
12.4.1.2. Przestrzenie unitarne i niektóre ich własności . . . . . . . . . . . 671
12.4.1.3. Przestrzenie Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
12.4.2. Ortogonalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
12.4.2.1. Własności relacji ortogonalności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
12.4.2.2. Układy ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
12.4.3. Szeregi ortogonalne (Fouriera) w przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . 673
12.4.3.1. Problem najlepszej aproksymacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
12.4.3.2. Tożsamość Parsevala i twierdzenie Riesza–Fischera . . . . . . . . 674
12.4.4. Istnienie bazy, izomor?zm przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . 675
12.5. Operatory i funkcjonały ograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675
12.5.1. Ograniczoność, norma oraz ciągłość operatorów liniowych . . . . . . . . . 675
12.5.1.1. Ograniczoność i norma operatora liniowego . . . . . . . . . . . . 675
12.5.1.2. Przestrzeń operatorów ograniczonych . . . . . . . . . . . . . . . . 675
12.5.1.3. Zbieżność ciągów operatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676
12.5.2. Operatory ograniczone w przestrzeniach Banacha . . . . . . . . . . . . . . 676
12.5.3. Elementy teorii spektralnej operatorów liniowych . . . . . . . . . . . . . . 678
12.5.3.1. Zbiór rezolwenty i rezolwenta operatora liniowego . . . . . . . . 678
12.5.3.2. Spektrum operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
12.5.4. Funkcjonały liniowe ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
12.5.4.1. De?nicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
12.5.4.2. Funkcjonały liniowe ciągłe w przestrzeni Hilberta. Twierdzenie Riesza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681
12.5.4.3. Funkcjonały liniowe ciągłe w przestrzeniach Lp . . . . . . . . . . 681
12.5.5. Rozszerzanie funkcjonałów liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681
12.5.6. Oddzielanie zbiorów wypukłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682
12.5.7. Przestrzeń bidualna, przestrzenie re?eksywne . . . . . . . . . . . . . . . . 683
12.6. Sprzężenie operatora w przestrzeniach unormowanych . . . . . . . . . . . 683
12.6.1. Operator sprzężony do operatora ograniczonego . . . . . . . . . . . . . . . 683
12.6.2. Operator sprzężony do operatora nieograniczonego . . . . . . . . . . . . . 684
12.6.3. Operatory samosprzężone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
12.6.3.1. Operatory dodatnio określone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
12.6.3.2. Rzuty w przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
12.7. Zbiory zwarte i operatory zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
12.7.1. Podzbiory zwarte w przestrzeniach unormowanych . . . . . . . . . . . . . 685
12.7.2. Operatory zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
12.7.2.1. De?nicja operatora zwartego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
12.7.2.2. Własności operatorów liniowych zwartych . . . . . . . . . . . . . 686
12.7.2.3. Słaba zbieżność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
12.7.3. Alternatywa Fredholma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
12.7.4. Operatory zwarte w przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
12.7.5. Operatory samosprzężone zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
12.8. Operatory nieliniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
12.8.1. Przykłady operatorów nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
12.8.2. Różniczkowalność operatorów nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
12.8.3. Algorytm (metoda) Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
12.8.4. Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
12.8.5. Teoria Leraya–Schaudera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
12.8.6. Operatory nieliniowe dodatnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
12.8.7. Operatory monotoniczne w przestrzeniach Banacha . . . . . . . . . . . . . 692
12.9. Miara i całka Lebesgue’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693
12.9.1. Sigma-algebry i miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693
12.9.2. Funkcje mierzalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
12.9.2.1. De?nicja funkcji mierzalnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
12.9.2.2. Własności klasy funkcji mierzalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
12.9.3. Całkowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
12.9.3.1. De?nicja całki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
12.9.3.2. Pewne podstawowe własności całki . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
12.9.3.3. Twierdzenia o zbieżności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
Yüklə 496,37 Kb. Dostları ilə paylaş:
|