Mpetencji do podejmowania samodzielnych decyzji dzielimy organy na

3.5.2.2. Pewne szczególne punkty na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . .

207

3.5.2.3. Prosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

210

3.5.2.4. Okrąg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

213

3.5.2.5. Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

214

3.5.2.6. Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216

3.5.2.7. Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

219

3.5.2.8. Krzywe drugiego stopnia (krzywe stożkowe) . . . . . . . . . . . . . . .

221

3.5.3. Geometria analityczna w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

224

3.5.3.1. Podstawowe pojęcia, przestrzenne układy współrzednych . . . . . . .

224

3.5.3.2. Prosta i płaszczyzna w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.3.3. Powierzchnie drugiego stopnia — równania w postaci normalnej (ka-

231

noniczne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

238

3.5.3.4. Powierzchnie stopnia drugiego — teoria ogólna . . . . . . . . . . . . .

241

3.6. Geometria różniczkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243

3.6.1. Krzywe płaskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243

3.6.1.1. Sposoby de?niowania krzywych płaskich . . . . . . . . . . . . . . . . .

243

3.6.1.2. Lokalne elementy krzywej płaskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

244

3.6.1.3. Szczególne punkty krzywej oraz jej asymptoty . . . . . . . . . . . . .

249

3.6.1.4. Badanie krzywej na podstawie jej równania . . . . . . . . . . . . . . .

254

3.6.1.5. Ewoluty i ewolwenty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

256

3.6.1.6. Obwiednia rodziny krzywych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

256

3.6.2. Krzywe w przestrzni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257

3.6.2.1. Sposoby określenia krzywych przestrzennych . . . . . . . . . . . . . . .

257

3.6.2.2. Trójścian Freneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

258

3.6.2.3. Krzywizna i skręcenie (torsja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261

3.6.3. Powierzchnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

263

3.6.3.1. Różne sposoby de?niowania powierzchni . . . . . . . . . . . . . . . . .

263

4.3.4.3. Kowariantne, kontrawariantne i mieszane współrzędne tensorów dru-

4.4.3. Nadokreślone układy równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.3.1. Nadokreślone układy równań liniowych i liniowe problemy minimali-

300

zacji sumy kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

300

4.4.3.2. Uwagi dotyczące numerycznego rozwiązywania liniowego problemu

najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

301

4.5. Zagadnienie własne macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

302

4.5.1. Ogólne zagadnienie własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

302

4.5.2. Zagadnienie własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

302

4.5.2.1. Wielomian charakterystyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

302

4.5.2.2. Rzeczywiste macierze symetryczne, transformacja podobieństwa . . .

303

4.5.2.3. Diagonalizacja form kwadratowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

305

4.5.2.4. Wskazówki dotyczące numerycznego wyznaczania wartości własnych

307

4.5.3. Rozkład singularny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

309

5. ALGEBRA I MATEMATYKA DYSKRETNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311

5.1. Logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311

5.1.1. Logika zdań, rachunek zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311

5.1.2. Wyrażenia logiki predykatów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

314

5.2. Teoria mnogości (teoria zbiorów) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

316

5.2.1. Pojęcie zbioru, zbiory szczególnego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

316

5.2.2. Operacje (działania) na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

317

5.2.3. Relacje i odwzorowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

320

5.2.4. Relacje równoważności i porządku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

323

5.2.5. Moc zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

324

5.3. Klasyczne struktury algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

325

5.3.1. Działania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

325

5.3.2. Półgrupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

325

5.3.3. Grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

326

5.3.3.1. De?nicja i podstawowe własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

326

5.3.3.2. Podgrupy i produkty proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

327

5.3.3.3. Odwzorowania między grupami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

329

5.3.4. Reprezentacje grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

330

5.3.4.1. De?nicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

330

5.3.4.2. Reprezentacje szczególnego typu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

331

5.3.4.3. Suma prosta reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

332

5.3.4.4. Iloczyn tensorowy reprezentacji (produkt prosty) . . . . . . . . . . . .

333

5.3.4.5. Reprezentacje przywiedlne i nieprzywiedlne . . . . . . . . . . . . . . .

333

5.3.4.6. Pierwszy lemat Schura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

334

5.3.4.7. Szereg Clebscha–Gordana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

334

5.3.4.8. Pewna nieprzywiedlna reprezentacja grupy symetrycznej SM . . . .

334

5.3.5. Zastosowania teorii grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

335

5.3.5.1. Operacje symetrii, elementy symetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

335

5.3.5.2. Grupy symetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

336

5.3.5.3. Operacje symetrii w cząsteczkach chemicznych . . . . . . . . . . . . .

336

5.3.5.4. Grupy symetrii w krystalogra?i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

338

5.3.5.5. Grupy symetrii w mechanice kwantowej . . . . . . . . . . . . . . . . .

340

5.3.5.6. Inne przykłady zastosowań w ?zyce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

341

5.3.6. Pierścienie i ciała . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

341

5.3.6.1. De?nicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

341

5.3.6.2. Podpierścienie, ideały . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

342

5.3.6.3. Homomor?zmy, izomor?zmy, twierdzenie o homomor?zmie . . . . . .

342

5.3.7. Przestrzenie wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

343

5.3.7.1. De?nicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

343

5.3.7.2. Zależność liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

344

5.3.7.3. Odwzorowania liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

344

5.3.7.4. Podprzestrzenie, zależności między wymiarami . . . . . . . . . . . . .

344

5.3.7.5. Przestrzenie (wektorowe) euklidesowe, norma euklidesowa . . . . . .

345

5.3.7.6. Operatory liniowe w przestrzeniach wektorowych . . . . . . . . . . . .

346

5.4. Elementarna teoria liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

347

5.4.1. Podzielność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

347

5.4.1.1. Podzielność i elementarne prawa podzielności . . . . . . . . . . . . . .

347

5.4.1.2. Liczby pierwsze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

347

5.4.1.3. Kryteria (cechy) podzielności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

349

5.4.1.4. Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność .

350

5.4.1.5. Liczby Fibonacciego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

352

5.4.2. Liniowe równania diofantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

353

5.4.3. Kongruencje i klasy reszt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

354

5.4.4. Twierdzenia Fermata, Eulera i Wilsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

359

5.4.5. Kody (szyfry) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

359

5.5. Kryptologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

362

5.5.1. Zadania kryptologii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

362

5.5.2. Systemy szyfrowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

362

5.5.3. Ścisłe de?nicje matematyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

363

5.5.4. Bezpieczeństwo systemów kryptogra?cznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

363

5.5.4.1. Metody klasycznej kryptologii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

364

5.5.4.2. Szyfry przestawieniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

365

5.5.4.3. Szyfry Vigenere’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

365

5.5.4.4. Podstawienia macierzowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

365

5.5.5. Metody klasycznej kryptoanalizy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

366

5.5.5.1. Analiza statystyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

366

5.5.5.2. Test Kasiskiego–Friedmana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

366

5.5.6. Szyfr typu one-time-tape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

367

5.5.7. Szyfry z kluczem o publicznym dostępie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

367

5.5.7.1. Metoda Di?ego i Hellmana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

367

5.5.7.2. Funkcje jednokierunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

368

5.5.7.3. Szyfr RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

368

5.5.8. Algorytm DES (Data Encryption Standard) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

369

5.5.9. Algorytm IDEA (International Data Encryption Algorithm) . . . . . . . . . .

369

5.6. Algebra uniwersalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

370

5.6.1. De?nicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

370

5.6.2. Kongruencje, algebry ilorazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

370

5.6.3. Homomor?zmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

371

5.6.4. Twierdzenie o homomor?zmie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

371

5.6.5. Rozmaitości algebr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

371

5.6.6. Algebry termów (algebry wolne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

372

5.7. Algebry Boole’a i algebry przełączników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

372

5.7.1. De?nicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

372

5.7.2. Twierdzenie o dualności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

373

5.7.3. Skończone algebry Boole’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

373

5.7.4. Algebry Boole’a jako zbiory uporządkowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

374

5.7.5. Funkcje boolowskie, wyrażenia boolowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

374

5.7.6. Postać normalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

376

5.7.7. Algebra połączeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

376

5.8. Algorytmy teorii grafów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

378

5.8.1. Podstawowe pojęcia i oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

378

5.8.2. Drogi w grafach nieskierowanych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

382

5.8.2.1. Drogi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

382

5.8.2.2. Grafy eulerowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

383

5.8.2.3. Cykle Hamiltona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

384

5.8.3. Drzewa i drzewa rozpinające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

385

5.8.3.1. Drzewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

385

5.8.3.2. Drzewa rozpinające grafu G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

386

5.8.4. Skojarzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

387

5.8.5. Grafy płaskie i planarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

388

5.8.6. Ścieżki w grafach skierowanych (digrafach) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

389

5.8.7. Sieci transportowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

390

5.9. Logika rozmyta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

392

5.9.1. Podstawy logiki rozmytej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

392

5.9.1.1. Interpretacja zbiorów rozmytych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

392

5.9.1.2. Funkcje przynależności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

393

5.9.1.3. Zbiory rozmyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

395

5.9.2. Działania na zbiorach rozmytych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

397

5.9.2.1. Pojęcie działania (agregacji) na zbiorach rozmytych . . . . . . . . . .

397

5.9.2.2. Działania na zbiorach rozmytych w praktyce rachunkowej . . . . . .

398

5.9.2.3. Operatory kompensacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

400

5.9.2.4. Warunki rozszerzania pojęć na zbiory rozmyte . . . . . . . . . . . . .

400

5.9.2.5. Dopełnienie dla zbiorów rozmytych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

401

5.9.3. Relacje rozmyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

401

5.9.3.1. Relacje rozmyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

401

5.9.3.2. Złożenie relacji rozmytych R ? S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

404

5.9.4. Wnioskowanie rozmyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

405

5.9.5. Wyostrzanie (konkretyzacja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

407

5.9.6. Ukłądy sterowania (regulacji) rozmytego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

407

5.9.6.1. Metoda Mamdaniego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

408

5.9.6.2. Metoda Takagiego–Sugeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

408

5.9.6.3. Systemy sterowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

409

5.9.6.4. Układy interpolacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

412

6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

414

6.1. Różniczkowanie funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

414

6.1.1. Pochodna funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

414

6.1.2. Wzory na różniczkowanie funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . .

415

6.1.2.1. Pochodne funkcji elementarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

415

6.1.2.2. Podstawowe wzory rachunku różniczkowego . . . . . . . . . . . . . . .

415

6.1.3. Pochodne wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

421

6.1.3.1. De?nicja pochodnych wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . .

421

6.1.3.2. Pochodne wyższych rzędów najprostszych funkcji . . . . . . . . . . . .

422

6.1.3.3. Wzór Leibniza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

422

6.1.3.4. Pochodne wyższych rzędów funkcji określonych parametrycznie . . .

423

6.1.3.5. Pochodne wyższych rzędów funkcji odwrotnej . . . . . . . . . . . . . .

423

6.1.4. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego . . . . . . . . . . . . . . . .

423

6.1.4.1. Warunki monotoniczności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

423

6.1.4.2. Twierdzenie Fermata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

424

6.1.4.3. Twierdzenie Rolle’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

424

6.1.4.4. Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej . . . . . . . . . . . . . . .

425

6.1.4.5. Twierdzenie Taylora dla funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . .

425

6.1.4.6. Uogólnione twierdzenie o wartości średniej lub twierdzenie Cauchy’ego

426

6.1.5. Wyznaczanie ekstremów i punktów przegięcia . . . . . . . . . . . . . . . . . .

426

6.1.5.1. Maksima i minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

426

6.1.5.2. Warunki konieczne istnienia ekstremów lokalnych . . . . . . . . . . . .

426

6.1.5.3. Ekstrema lokalne funkcji różniczkowalnej zde?niowanej wzorem y = f (x)

427

6.1.5.4. Wyznaczanie ekstremum globalnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

428

6.1.5.5. Wyznaczanie ekstremów funkcji zadanej w postaci uwikłanej . . . .

428

6.2. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . .

429

6.2.1. Pochodne cząstkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

429

6.2.1.1. Pochodna cząstkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

429

6.2.1.2. Interpretacja geometryczna w przypadku funkcji dwóch zmiennych .

429

6.2.1.3. Pojęcie różniczki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

429

6.2.1.4. Podstawowe własności różniczki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

430

6.2.1.5. Różniczka cząstkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

430

6.2.2. Różniczka zupełna i różniczki wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . .

430

6.2.2.1. Pojęcie różniczki zupełnej funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . .

430

6.2.2.2. Pochodne i różniczki wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . .

432

6.2.2.3. Twierdzenie Taylora dla funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . .

433

6.2.3. Wzory na różniczkowanie funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . .

434

6.2.3.1. Różniczkowanie funkcji złożonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

434

6.2.3.2. Różniczkowanie funkcji zde?niowanej w sposób uwikłany . . . . . . .

6.2.4. Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych oraz transformacje współ-

434

rzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

436

6.2.4.1. Funkcja jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

436

6.2.4.2. Funkcja dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

437

6.2.5. Ekstrema funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

438

6.2.5.1. De?nicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

438

6.2.5.2. Interpretacja geometryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

438

6.2.5.3. Wyznaczanie ekstremum funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . . . .

439

6.2.5.4. Wyznaczanie ekstremum funkcji n zmiennych . . . . . . . . . . . . . .

439

6.2.5.5. Rozwiązywanie problemów aproksymacji . . . . . . . . . . . . . . . . .

439

6.2.5.6. Wyznaczanie ekstremów związanych lub warunkowych . . . . . . . .

439

7. SZEREGI NIESKON´ CZONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

441

7.1. Ciągi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

441

7.1.1. Własności ciągów liczbowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

441

7.1.1.1. De?nicja ciągu liczbowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

441

7.1.1.2. Ciągi monotoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .